て日々

2015年6月


2015年6月30日(火)あめ

Apple日本語入力の使いづらさに耐えかねて、入力メソッドをAquaSKKに戻すことにした。 何年か前からAquaSKKを使いつづけて、このごろはすっかり手に馴染んでいたのだが、 Sourceforge.jpの公式サイトのバイナリは更新が一昨年で止まっていて、 その古いバイナリがOS X Yosemiteではなぜかマトモに動いてくれなかったので、 Google日本語入力にするかデフォルトのApple日本語入力にするほかなかったのだ。しかし、さいわいなことに、 みずぴー(@mzp)さんたちが GitHub でAquaSKKのメンテナンスを続けてくれていて、Yosemite対応のバイナリも公開されているので、 その最新のバイナリをありがたく使わせていただく。

大学院のセミナーでは《無矛盾性文の強さが、理論の算術化のしかたに依存して変わりうる》 というFefermanの結果の証明を読んだ。それに関連するOdeyの結果によると、1階算術の \(\Pi_1\) 文 \(\varphi\) が真 \((\mathbb{N}\models\varphi)\) であり、 \(\mathrm{PA}\,\vdash\,\varphi\rightarrow\mathrm{Con}_{\mathrm{PA}}\) であれば、 PAの公理系を算術化する論理式 \(\tau(x)\) をうまく選ぶことにより、 \[ \mathrm{PA}\,\vdash\,\mathrm{Con}_{\tau}\leftrightarrow\varphi \] が成立する。したがって、たとえばZF集合論の無矛盾性を主張する式 \(\mathrm{Con}_{\mathrm{ZF}}\) に対して、PAの公理系を算術化する論理式 \(\tau(x)\) を \[ \mathrm{PA}\,\vdash\,\mathrm{Con}_{\tau}\leftrightarrow\mathrm{Con}_{\mathrm{ZF}} \] となるように作れることになる。なかなか面白い話だ。

午後から雨。静かだが熱心さを感じさせる不思議な降り方。 この雨では、大三島の合宿はどうなったことやら。


2015年6月29日(月)はれ

天気がよく涼しい。

手書きノート
このごろは、ダイソーのスケッチブックをノートがわりに使っている

週末に読めなかったWeaver本の第19章を読み終える。 Naimarkの問題への反例をダイヤモンド原理を使って構成する、著者ご自慢の結果なのだが、 作用素環論の大事な補題の証明が略されていて、これではわかった気がしない。 まあ、作用素環についてはいずれきちんと勉強せねばならんと思っていたのだから、 この機会に基本からやるとしよう。

ついでのことに書いておくと、Naimarkの問題というのは《C*-環 \(\mathcal{A}\) の既約表現がユニタリ同値を除いて一意的であれば、\(\mathcal{A}\) があるヒルベルト空間 \(H\) 上のコンパクト作用素の環 \(\mathcal{K}(H)\) になるだろうか》というものだ。Naimarkの古い結果に、 \(\mathcal{K}(H)\) がこの既約表現の一意性をもつというのがあって、その逆はどうかが問題になった。 可分なC*-環には反例がないらしいが、AkemannとWeaverはダイヤモンド原理 \(\diamondsuit\) を仮定して(可分でない)反例を構成した。反例の不存在がZFC集合論と整合かどうかは未解決だそうだ。

きょうから2泊3日の予定で、セガレ(小5)が大三島へ合宿にいっている。 ムスメが小5のときと同様、夕食は外食となった。「はま寿司」に行ったら、 平日でも思いのほか繁盛しているようだった。


2015年6月28日(日)はれ

打って変わって気持ちのよい晴天。 だが疲れが溜まっていて気分がすぐれず。1日ムダにした感。 昼食にジャージャー麺的なものを作る。


2015年6月27日(土)あめ

とってもとっても久しぶりに、番町教会に行った。ミニコンサートの催しがあり、 親愛幼稚園出身で俺がピアノを習っている音楽教室でバイオリンを教えている原瀬万梨子先生が演奏なさるのだ。 ムスメは塾と宿題と期末テストの勉強があるので留守番。昨晩からの小さなお客さま二人と、 セガレと妻と俺というメンバーで行く。

原瀬先生の演奏は素敵だった。笑顔も素敵だった。 演奏中は笑顔が消えてキリッとしたオトコマエの顔になるのがこれまた素晴らしい。 きゃーきゃー♪

久しぶりの教会で、セガレの成長に驚いた。 自宅ではジワジワ成長するのを毎日見守っているのでわからないが、 幼稚園児の頃見ていた背景に、数年ぶりに小学5年生のセガレを置いたら、 たしかに大きくなっていた。心理的なインパクトで言えばもう3倍くらいに見える… というのはさすがに言い過ぎだが。日曜学校にも2年ほど行っていないのに、 教会のみなさんがセガレを笑顔で歓迎してくださったのもありがたかった。

コンサート終了後、大街道の蕎麦屋で昼食。 仕方のないことなのだが、小さなお客さまがジラ言うてなかなか大変だった。


2015年6月26日(金)くもり

集合と位相の授業。順序集合の話の2回目。順序同型写像の定義と例。 演習では最初に3要素の集合に与えられた具体的な二項関係が順序関係になるかどうかの検証をしてもらった。 推移律や反対称律の検証に苦慮している人が多かった。

夕方、ピアノのレッスンを済ませて帰宅すると、小さなお客さまがふたり。 妻の知人のところの子供を、一晩だけ預かることになっているのだ。

風呂上がりの4歳の女の子の髪にドライヤーを当てる妻の表情がとても幸せそうで、 妻は本当に小さな子供のお世話が大好きなのだと、改めて思った次第。


2015年6月25日(木)くもり

明日の授業の準備が早めに済んだので、 引き続きNik Weaver «Forcing for Mathematicians» を読む。第18章ではダイヤモンド原理 \(\diamondsuit\) を仮定してススリン木の存在を示す。 Kunen «Set Theory» 1980年版の証明とほぼ同じ議論だが、 記法をすっきりと整理しすぎないことで、かえってアイデアの直截な伝達に成功しているように思う。


2015年6月24日(水)くもり

数理論理学の講義。等号の対称律と推移律の証明をくわしいめに解説。 それから仮定をもつ推論の解説に入るが、思うように進まない。

講義のあと、 生協に黒い色画用紙買いにいった。 手書きノートをスキャナでデジタル化するときに、裏写りを軽減するために黒い紙を下敷きにするとよいのだ。 そのついでに、阿部龍蔵『量子力学入門』(岩波書店)を買った。

俺がはじめて「量子力学」という言葉に触れたのは、 たしか小学生のころに少年ジャンプで連載していた『アストロ球団』という野球マンガだ。 「宿命の強敵」役である球四郎さんが、初登場のシーンで《腹巻に量子力学の本を挟んだ呑んだくれ》 という描かれ方をしていたのだった。そのとき以来、俺にとって量子力学は「難しいもの」の代名詞だった。 高校生になって、ブルーバックスの都筑卓司『不確定性原理』などを読んだけど、 正しく理解できるはずもない。 街の図書館で当時は岩波全書だった阿部龍蔵の『量子力学入門』を手に取ってみたりしたが、 それもまあ端的に言って、ムダな悪あがきであった。あれから30年以上になる。 いまなら、なんとか読める気がする。それに、 子供の頃からの憧れであった量子力学と、 専門分野として少しはマトモに勉強した覚えのないでもない不可算基数の集合論が、 作用素環という舞台で共演すると聞いて、手をこまねいていられるものか。


2015年6月23日(火)くもり

明日の授業の準備をせねばならんのだが、何がどうしたのか、 前回の授業の印象が妙に薄れている。講義の内容だけではなく講義をしたこと自体が、 なんだか遥かに遠い昔のことみたいに思えるのだ。いったいどうしたわけだろう。

時間をみつけてWeaver本を読み進む。第16章。可分ヒルベルト空間 \(H\) 上の作用素環 \(\mathcal{B}(H)\) における純粋状態(pure state)のうちに、\(H\) のベクトルに由来するのではない妙ちきりんなのがある、という結果を連続体仮説を仮定して導く。 そもそもこの本の著者のNik Weaverという人は、Akemannとともに、 C*-環の表現におけるNaimarkの問題の反例を、 ダイヤモンド原理を仮定して構成したことで知られている、作用素環論への集合論の応用の研究者なのだ。 C*-環のことは20年ほど前に少し勉強したことがあるがたいてい忘れている。


2015年6月22日(月)くもり

昨年秋から今年の春にかけて毎週1回のペースで Nik Weaverの“Forcing for Mathematicians” (World Scientific Press, 2014) を読む自主ゼミをやっていた。 初めから順に1回につき1章のペースで進んで、第13章の強制法による連続体仮説の独立性証明まで 済ませて、ひとまずそれで打ち切りになった。その部分に、 必要最小限の公理的集合論の展開と強制法の一般論が手際よく展開されていたのだが、 まあ、それだけならキューネン本などなど、他にも優れた教科書のある内容ではあった。

そのときはそれだけのことだったわけだが、 今年の9月に著者のNik Weaverが来日するというので、 それまでにこの本の後半の強制法の応用の部分を読み終えてしまおうと思った。

読んでみると、後半のほうが断然面白い。まあ、 著者としても本来そちらを書きたかったわけだろうから当たり前だが。

今日読んだのは第15章。 連続体仮説を仮定すると、 \(\beta\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}\) の自己同相写像で \(\mathbb{N}\) のいかなる自己写像からも誘導されないものの存在がいえる、という話だった。


2015年6月21日(日)はれ

今日もムスメをつれ出してフジグラン松山のフードコートで宿題をさせた。その後、 宮西のブックオフと南江戸の宮脇書店に連れて行き、コミック版『天地明察』の第7巻〜第8巻を買って、 歩いて帰宅。


2015年6月20日(土)くもり

昼食に汁なし担々麺的なものを作る。ソースの味が濃すぎてイマイチであった。


2015年6月19日(金)くもり

「集合と位相」の授業に関連して、非存在の証明ということの わかりにくさについていろいろと考察した。たとえば、最大の整数は存在しない。最小の正の実数も存在しない。 数学においては、

どの整数 \(x\) に対しても, それより大きい, たとえば \(x+1\) という整数があるから, \(x\) は最大の整数ではない. だから最大の整数は存在しない.

とか

\(\alpha\) が正の実数であれば \(\alpha/2\) はそれより小さな正の実数である. だから, どの正の実数も最小でなく, 最小の正の実数は存在しない.

のように、要求された条件をみたすものがひとつもないことを証明するだけなのだが、 これが意外とわかりにくいらしい。「存在すると仮定して背理法使っちゃダメなんですか?」という質問も出た。 もちろんそれでもいいし同じことなんだが、そのほうが安心感はあるのかもしれない。

まあ無理もない。そういうものが存在すると思えばこそ、 人はそれに何らかの名を付けるのである。「神さま仏さま」とか「宇宙」とか「愛」とか「お金の価値」とか 「運」とか「実力」とか、あるのかないのか断言できない、つかみどころのないものでも、何か名前が ついていると「***はある!」と断言する人が必ずあらわれる。


2015年6月18日(木)くもり

昨日の日記に書いたようなわけで, Pawlikowskiの古い論文を再読. 9年前に目を通したときは, ひどく難しいと感じたのだが, 元町珈琲でノートをとりながら改めて虚心に読んでみると, たしかに読みにくい英語だなあとは思うが, 証明自体は, さほど難しくはない. いやあ, 俺は9年前は何をしていたんだろう.

元町珈琲ではコーヒーチケットを買った。 通常420円のブレンドコーヒー10杯分のチケットが3,600円で、けっこう差額が大きい。 給料日にこれを買って、ひと月で使いきるくらいのペースがちょうどよいと思う。


2015年6月17日(水)くもり

きょう知った集合論の新しい定理. 平面の疎集合 \(E\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) に対しては、集合 \(F\subseteq\mathbb{R}\) を \[ \forall x,y\in F \Big(\,x\neq y\rightarrow \langle x,y\rangle\notin E\,\Big) \] かつ, 任意の \(a<b\) について \((a,b)\cap F\) が非疎集合であるようにとれる. 出展は Taras Banakh and Lyubomyr Zdomskyy, «Non-meager free sets for meager relations on Polish spaces», Proc. Amer. Math. Soc. 143 (2015), 2719-2724 だ.

これにはちょっと驚いた. というのは, 《疎集合》のところをルベーグ測度の意味での《零集合》に置き換えた命題が, 通常の集合論の公理だけからでは証明できないからだ. そちらのほうは9年ほど前に, Janusz Pawlikowski, «On a rectangle inclusion problem», Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), 3189-3195 で読んで知っていた. もしこのPawlikowskiの結果を知らずに今回の論文を見たら, ルベーグ測度の文脈でも同様のことが できるんじゃないかと思って無駄に努力をしたかもしれない.


2015年6月16日(火)くもり

大学生協に「裳華房フェア」をチェックしにいって、 松岡正浩『量子光学』(裳華房)と須藤靖『解析力学・量子論』(東京大学出版会)の2冊を買った。 しかしこれ、俺に読めるのか?


2015年6月15日(月)はれ

薄曇りのようで思いのほか日差しが強いのでダイキで帽子を買ってから出勤。

麦わら帽子

「あの本」の原稿を少し進める。


2015年6月14日(日)くもり

久々に家族4人揃って出かける。行き先は 和光会館 で開催されている「ブックマルシェ」だ。和光会館はかつての和光幼稚園の跡地をそのままレンタルスペースに したもので、古き佳き時代を感じさせる建物だ。古本市やフリマのようなイベントにはうってつけ。

それはいいけど「ブックマルシェ」という英仏2か国語ちゃんぽんカタカナ語はなんとかならなかったのかな。

古本市で明治37年刊行の『理科辞典』なるものを見つけた。これは古い。 明治37年といえば1903年である。開いてみると「原子」の項はあるが「電子」は記載がない。 J.J.トムソンたちの電子の発見が1897年ごろ。その発見が科学界の常識になるまでには、 それから10年ほどを要したという。 『理科辞典』が刊行されたのはちょうどその半ばの時期であり、 電子に関する知識はまだ科学のフロンティアのよくわからん領域、という扱いだったのだろう。 「原子」の項には「物質の究極の構成要素にして、いかなる手段によっても分割され得ぬものなり」 とあった。世紀転換期の科学の知識についていろいろなことがわかって面白そうで、 売価は1,000円と決して高くはなかったのだが、なんだかんだで買わずに済ませてしまった。

さてそのあとは、 子供たちにアイスクリームを食べさせるためにあちこち彷徨った挙句に大浦海水浴場近くの 「道の駅ふわり」まで行ってしまったり。家にあった本をブックオフに持って行ったり、 帰宅して野菜炒めを作ったら作りすぎたり。

大浦海水浴場とムスメ
大浦海水浴場にて
ムスメ「海がルゥなら、砂浜はご飯だっ!!」


2015年6月13日(土)くもり

毎年この時期の土曜日に、 理学部後援会総会にあわせて教育懇談会というものが開かれ、 学生さんたちの親御さんが何人か面談にみえる。 それで休日出勤。


2015年6月12日(金)くもり

庭というほどのものもないが、 軒下にジャガイモを埋めておいたら、 先日から花がつきだした。

ジャガイモの白い花

ジャガイモはイモなのだが、花は純白で意外に清楚だ。


2015年6月11日(木)くもり

いい加減「あの本」の原稿を進めないといけない。 夕方からは、ツイッターでマスピコさんと話しながら、 紙でメビウスの帯と円筒の模型をたくさん作った。

そして話はころった変わって、 某所で小耳に挟んだ話。真偽の程は知らんが。

女友達とドライブしてて腹が減った男が、 通りかかったファーストフード店の看板をみて思わず「すき家…」とつぶやいたら、 しばらくして女友達が「あたしも♡」と言い出して、 とうとう結婚することになってしまったという事例があったとか。たまたま通りかかったのが マクドとか松屋とかガストだったらどうなったのか、とは誰しも考える。 さすがに「マクド…」に対しては「…あたしも♡」とは返ってこないだろうが、 その二人の場合、それでも時間の問題で結婚したんだろうと思う。 古いことわざにも「縁は異なもの味なもの」というし。


2015年6月10日(水)くもり

数理論理学の講義では、一応予定どおりに論理の公理を解説した。 最初の総論と、あと量化記号の公理の変数条件と代入条件の説明をていねいにやったら、 等号の公理が「書くだけ」で終わってしまった。 次の「推論規則」の回でそのあたりを補いながら話すようにしよう。

テキストではさらにその次の「形式的証明の具体例」と題されたセクション3.7で 等号の対称律と推移律の導出をやってみせているので、それに従って24日の授業で等号の公理について 補足した。

物理の本を2冊買った

夕方にはジュンク堂書店へ行って「三省堂新物理小事典」などを買った。 この「小事典」はけっこう項目が充実していてありがたい。 これで、あと各項目の見出しに英語表記を併記してくれたら言うことなし。


2015年6月9日(火)くもり

M2くん就活のためゼミがお休み。 集合と位相Iの中間テスト問題を作り、明日の数理論理学の講義の準備をする。 ようやく論理らしく公理と推論の話。とはいえ、明日は公理の話で終わってしまいそうだ。

帰りに元町珈琲に寄り閉店間際までいて外に出たら、 10メートル先が見通せないほど深い霧がかかっていて驚いた。


2015年6月8日(月)あめ

帰り道、雨だ。傘をさして歩くが、バッグが濡れた。まあ仕方がない。雨のいいところは、 人の気も知らずに降ることだ。この雨がもしも誰かの都合に合わせて降ってるんだとしたら、 まったくやりきれない。

昼間のしとしと降る雨は風情があって好きだ。夜の雨の音だって、一人暮らしの頃は、 わび住いの慰めになったものだ。疲れた足を引きずって家路を辿る夜の雨はつらいが、 それすら、世の中に屋根つきの自動車というものさえなければ、みな等しく濡れて歩くのだから、 まだ我慢できる。ただ、雨の夜に舗装の良くない道の脇の申しわけ程度の狭い歩道を、 車にハネをかけられないように警戒しながら歩くというのだけは、どうも嬉しくない。


2015年6月7日(日)くもり

庭というほど大層なものはないが、 自宅の周りの余白部分にレンガを並べて花壇的なものにしてみるなど。 セガレに手伝わせる。土を掘り起こすたびに、木の根っこや小さな虫たちが姿を見せる。 それをセガレに見せながら、「砂漠の砂と違って、土は生きている。海の水も、水道の水と違って、 生きている。ちょっと見ただけでは見えないけど、小さな命がいっぱい詰まってるんだ。」 「こういうふうに根っこがたくさん伸びることで、雨が降っても土が崩れにくくなるんだよ。」 「土を見たら舗装してビルを建ててお金を稼ぐことしか考えない人には、 土が生きていることがわからない。」などなどと語る。

レンガを並べてみたぞ

夜は吉田耕作『ヒルベルト空間論』(共立出版)で「フーリエの積分定理」を勉強しなおす。 広義積分とか、積分記号下の微分とかの、普通の微積分の時間に習う定理をろくに知らないので、 「へぇ〜」「ほぉ〜」「へぇ〜」「ほぉ〜」ばっかり言うことになる。


2015年6月6日(土)くもり

自宅トイレのずっと掃除せずに使っていた換気扇を掃除。どえらいこと埃がたまっていた。 そりゃあそうだ。

立ち寄った店のBGMで “Can't Take My Eyes off You” (邦題:「君の瞳に恋してる」, リンク先はYouTube) がかかっていた。古い歌だが、それだけに自分が若かった頃の気持ちが蘇る。まあ、 当時もいまと変わらず、しょーもないことで悩んだり人を困らせたりしていたのではあるが、 20歳のころはさすがにまだ若くまっすぐな気持ちもあり、好きなことに傾ける情熱もあった。 恥の記録は帰ってこなくていいが、若くポジティブな気持ちは、もっと思い出していいはずだ。


2015年6月5日(金)あめ

集合と位相の講義ノートを仕事用のホームページに置くことにしたら、 今週のぶんのノートを作るのに普段の3倍くらい時間がかかってしまった。 これまでは自分専用だと思って雑に書いていたからね。

きょうの講義では「冪」という漢字の成り立ちとか筆記体の \(\mathcal{P}\) の書き方などというトリヴィアを多めに入れたので、主な内容であるべき \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) が連続体の濃度をもつことの証明のほうにしわ寄せが行ってしまった。

iCloud Driveを20GBにした。それで、ダウンロードした論文や書きかけの原稿など、 Dropboxに置いたりハードディスクやUSBメモリディスクに入れたりしてた研究用の資料を、 まとめてiCloud Driveに置くことにした。


2015年6月4日(木)はれ

いつもの医者に行った。前回ひどく遅くなって羹に懲りて鱠を吹いた結果、 予約時間より30分ほど早く着いた。だからといって早く呼ばれるわけでもなく、 1時間ほどの待ち時間になるのは覚悟の上だったので、竹内『線形代数と量子力学』を読む。 §6まで目を通したが、§4以降は筆記具を用意して計算を追いながら読み直さねばなるまい。

医者からの帰りは徒歩で、時間を計りながら行く。所要時間35分弱だから、 家から職場に歩くのと変わらない。とはいえ4月に医者が移転してから、 職場から医者まではずいぶん遠くなった。

『線形代数と量子力学』の余ってしまった1冊は、 「数学科お茶会」常連で、オタク四天王の中でも最強(謎)と言われる 物理学科2回生《オタク多聞天》に譲った。

藪から棒に「オタク四天王」では何のことかわかるまい。 昨年の夏に小学生向けのイベントの担当をしたときに、4人の学生さんに手伝ってもらった、 その4人のことを、当時俺が「オタク四天王」と呼んだのだ。 わかってほしいのだが、オタクと呼んだからとて、決して蔑んでいるわけではない。 数学の問題やパズルに傾ける奴らの情熱たるや見上げたもので、 「紙工作で立体図形を作る」というテーマでイベントの出し物をするにあたって、 おかげでとても助かった。そのとき日記もやめていた頃だし、 このあたりのことはなにせ記録に残っていないのだ。


2015年6月3日(水)はれ

数理論理学の講義。ようやく述語論理の論理式を定義。 一応その次の「公理とは・推論とは」という話のところも準備はしてあったのだが、 そこまでの時間はなかった。このペースではとても完全性定理に到達できないだろう。ううむ。


2015年6月2日(火)はれ

行方不明になっていた竹内外史『線形代数と量子力学』(裳華房)は、 最近また少し長めの出張に行っていた100,000,000さんが持っていたのだった。 なくしたと思ってもう一冊買ってしまったよ。まあ、誰かに1冊あげることにしよう。

夕方は松山TGSAセミナー。講演者は尾國さんで、Coarse Geometryの話。 大尺度幾何についてのまさに大尺度な解説で、わかりやすく面白かった。


2015年6月1日(月)はれ

ガク先生が残していった2007年版iMac、メモリが1GBしかなかったので、 妻が使っていた古いノートパソコン(「くまごろー」と「まる子」)から抜いてきた互換モジュールを挿して、 2GBで使っている。しかしこれは業務用のパソコンであり、 妻から借りたメモリモジュールで動かすというのは本意ではない。 という理由で研究費でメモリモジュールを買って差し替えたけど、なぜか起動しない。 たしか妻のパソコンからとってきたモジュールも左右のスロットを入れ替えるだけで起動しなくなったし、 どういうわけか相性というものがあるようだ。業者の人が次にきたときに相談することにして、 ひとまずもとどおり妻モジュールで使い続けることにする。