て日々

2012年4月


2012年4月30日(月)振替休日くもり

一日どんよりとした天気。時折小雨。昼食に天丼を作る。ただし、てんぷらはスーパーで買った出来合いのもの。うまかったが自慢するようなものではない。妻が先日の町内会役員会で貰ってきたというので、ひさびさにクリアアサヒ350㎖缶を一本飲んだ。その感想は「なんで俺はこんなもんを毎日飲まずにおられんかったんだろうなあ」だった。ほとんどアル中ぎみだったのに、なぜかこのごろは飲まないことが苦にならないのだ。

田中一之先生の新刊『ゲーデルに挑む』(東京大学出版会)が届いた。不完全性定理の論文の邦訳に詳細な解説を付したものだ。ゼミ生の0-1くんほか、不完全性定理や数理の哲学に興味をもっていそうな学生さんに宣伝することにしよう。


2012年4月29日(日)昭和の日くもり

妻は今週もあるショッピングモールの保健室詰めのバイトに行っている。午前中はコミセンの図書館へ子供を連れていく。俺と【娘】はそれぞれ適当に本を借り出したが、【息子】はカードを忘れていて借りられない。北斗のソフトクリームを買ってやって慰める。午後は子供らが児童館へ遊びに行ったので俺は家でダラダラしていた。夕方6時前まで戻ってくるまいと思って昼寝を決めこんでいたら、4時すぎに【息子】だけ一人でふらっと帰ってきた。【娘】はユーリちゃんと事前に連絡をとって待ち合わせをしていたが、【息子】は友達にも会えないしお姉ちゃんはかまってくれないし、つまんなかったんだろう。しかしお姉ちゃんに黙ってひとりで帰ってくるのはマズイ。ああ見えて責任感がありそれなりに【息子】を気遣っている【娘】が、自分の知らないうちに弟が姿を消したと知ったら、青くなって探しまわるに違いない。児童館へ電話して【娘】を呼び出してもらうと、さいわいにというのかなんというのか、【娘】はまだ【息子】がいなくなったことに気づいていなかった。連絡が取れればまあいい。事情を伝え心配せずにユーリちゃんと時間いっぱい遊んで帰るように言った。【娘】はあまり気にもかけなかったようだが、だからといって【息子】がやったことが良くないことに変わりはない。どうしてもひとりで帰らにゃならん場合でも、せめてお姉ちゃんに連絡してから帰るように、そして、そのときたとえお姉ちゃんの姿が見えなかったとしても、簡単に放って帰るのではなく児童館のおじさんに頼んで呼び出しをかけてくれ、とかなんとかこってりと説教。

晩飯のパスタ
晩飯のパスタ
さぬき麺心のフェットチーネ生麺
生ハム・水菜・刻みニンニク・オリーブオイル・醤油
まあ悪くなかったが、ちと塩辛かった


2012年4月28日(土)はれ

家族でフジグラン松山へ。ケンタッキーフライドチキンで昼食をとり、子供らの新しい服を買う。人は多かったとはいえ先週のエミフルとは違って落ち着いたものだ。ひさしぶりに家族で揃って買い物ができて楽しかった。

4階で最初に子供らとはぐれたときには、【娘】をTSUTAYAの児童文庫の棚の前で、【息子】を玩具売り場のプラレールのコーナーの前で、それぞれなんなく捕獲。だが2回目以降はそうはいかなかった。家族4人が4人とも、できるだけ好き勝手に動きたい奴らだから仕方がない。

関西すうがく徒のつどい の人たちに呼びかけて「すうがく徒の本棚」という企画をスタートさせることにした。それに関連して、あの「てなさく読書欄」のバックアップをみつけ出して読み返してみた。だがこれらが書かれた2000 年〜2007年という時期を離れて「すうがく徒の本棚」で改めて発表しようとすれば、俺のこんな駄文といえども、やはりそれなりにかなり手を入れなければならない。そんなことをするよりは、新しく読んだ本について書き下ろしたい。そう思って「てなさく読書欄」の転載はしないことにした。ただし、せっかくだから「てなさく読書欄」は「てなさく読書欄」で、当時の形をほとんどそのまま保って復刻することにした。「すうがく徒の本棚」のためには、ひとまず新たに小林章夫『コーヒー・ハウス』の紹介を書き下ろすほかに、昨年8月31日の「て日々」に書いたワプナーの『バナッハ=タルスキーの逆説』の評に原書と比較して気付いたことを書き足したものを提供しようと思っている。

→復刻版「てなさく読書欄」へ

あと、田尻くんから寄せられたキューネンの演習問題の解答を一気に4題掲載。


2012年4月27日(金)はれ

午後の3年生のゼミは発表担当者が二日酔いで来れないというので急遽俺が数学ネタを披露。まずトーラスのパラメータ表示を考えてもらう。次にそこからパラメータを消去して直交座標系の方程式を導出してもらう。そして最後にできあがった方程式をiPadの QuickGraphに入力して、表示された曲面がまさにトーラスの形であることを確認してもらう。

QuickGraphで描いたトーラス
\(a=2\),\(c=1\)の場合を
QuickGraphで作画

Z-軸から距離 \(a\) の位置にある点を中心として XZ-面上に描かれた半径 \(c\) の小円を Z-軸のまわりに回転させて得られるトーラスの方程式は \[ \big(\,X^2+Y^2+Z^2-(a^2+c^2)\,\big)^2 = 4a^2(c^2-Z^2) \] で、三変数 \(X\),\(Y\),\(Z\) の4次式だから、詳細な解析はちょっと手に負えないかもしれないにせよ、その導出は高校数学の範囲内のことだ。高校レベル、あるいはわれわれの学科の2年生の「基礎数学」で学ぶレベルの数学の知識と、QuickGraphのように計算の結果をビジュアルに確認できるツールがあれば、それだけで当分楽しめる。式と図形の対応を視覚的に確認しながら計算を進めることができれば、解析や幾何の勉強のしかたが大きく変わることだろう。数学科の学生が、パソコンやスマホを持っていながら、そうした便利なツールを使わないどころか、その存在を知りもしないというのは、実はとても損をしている。新しいテクノロジーに目を開き自分たちの流儀で使いこなせ。そうすれば「できる奴ら」に使われるだけの人生を歩まなくて済む。そういう趣旨の話をしてひとしきり学生をアジった。


2012年4月26日(木)はれ

長らく懸案だった散髪に行った。メンバーズカードの記録によれば前に行ったのは2月11日。けっこう伸びて気になっていたから、スッキリしてそれだけで気分がいい。

その後、JR松山駅前の喫茶「時計台」に行った。お向かいの「キタ」と並ぶ昔ながらの喫茶店で、落ち着いたムードがとても好ましい。街中の喫茶店はどんどん姿を消して、小綺麗なカフェばかりになってきた。いま風のカフェもそれはそれでいいんだけど、こういう「喫茶店」にもいつまでも残っていてほしいものだ。

JR松山駅前の喫茶「時計台」
読みかけの文庫本は和辻哲郎「人間の学としての倫理学」
論理哲学のかっちりした議論より、
こういうののほうが好きかも。

のうこ(@noukoknows)が飯田隆先生の『言語哲学大全I』のオンライン輪読会の計画をしているという。参加できるかどうかはわからんが飯田大全Iは買って読むことにする。しかしそうでなくても、読むべき本が多すぎる。iCloudのリマインダーに「読むべき本」というタスクリストを作ってみたが、さてどうなることやら。本を開いても目が文字の上を滑って行くだけにならないようにするには、頭の中で鳴っているBGM(=バックグラウンド・もにょもにょ)のスイッチを切らないといけない。俺にはそれがけっこう大変だ。そして、どうも俺は気が短くこらえ性がなくて、結果が出るまで待てずにいろいろのことを途中で放棄してしまっている。そして、あとになってそのことに苦しめられるわけだ。もっと気長に、かつ、読むこと自体を楽しみながら読むことを覚えなくては。本が手に貼りついているかのような我が娘の爪の垢でも煎じて飲むとするか。

先日かがみさんや《三ねんせい》こと永島先生との話に関連して出てきた実数のPrewellorderingの話題は、かつての《Cabal Seminar》で精力的に研究されていたものだ。基本的なことがMoschovakisの本の7章あたりに載っているいっぽう、最近のWoodinの理論とも密接に関連する。Moschovakisの本とCabalの文献から必要な情報を抽出して解説するだけでも、若い研究者の助けになるはずだ。

ここへちょっとくらい詳細を書いても誰も俺の代わりに解いちゃったりしないだろうから安心して問題を書く。ZF+AD+DCのもとでは、連続体からの全射の値域となりうる順序数は非常に多く、したがって その上限 \(\Theta\) は非常に大きい順序数である。たとえば、ZF+DC+ADのもとでは「可測基数」が \(\Theta\) の下に非有界に存在する。いっぽう ZF+DC だけで証明できる最善の結果は \(\Theta\geq\aleph_2\) だ。では、ZF+DC+“何かRegularity”+“\(\Theta>\aleph_2\)” というのは無矛盾性の意味で巨大基数に対応しているだろうか。ここでの “何かRegularity” としては、ひとまず「実数のあらゆる集合がルベーグ可測である」のようなADから導かれる比較的弱い帰結を想定している。

ZFCのもとでは \(\Theta=(2^{\aleph_0})^+\) で (これは無矛盾性の意味でなんら巨大基数を必要とせずに) いくらでも大きくできる。HarringtonのLong Projective Wellorderingの結果によれば、なんら巨大基数を必要とせずに、連続体が好きなだけ大きくてなおかつ射影集合として定義可能な整列順序づけをもつようなZFCのモデルが作れるが、そのようなモデルにおいて \(L(\mathbb{R})\) を考えたときは、そこにおいて \(\Theta\) は好きなだけ大きくできるかわりに “何かRegularity” が成立しないわけだ。なんてったって、連続体の射影的な整列順序づけが存在するなら、 \(L(\mathbb{R})\) は選択公理のモデルになってしまうからね。

かつて関連する問題をForemanとMagidorが1995年の論文 (“Large Cardinals and Definable Counterexamples to the Continuum Hypothesis,” Annals of Pure and Applied Logic 76 (1995), p.47-p.97) で論じているが、これは巨大基数があるZFCの文脈で \(L(\mathbb{R})\) における \(\Theta\) を \(V\) のアレフ系列と比較するという話で、興味の方向が少し違う。

このごろ集合論の勉強をサボってばかりいるが、実際問題としては、だからといって足を洗いきることなどできはしない。最先端に追いつくのはもう不可能に思えるが、いま止めてしまっては博物館行きにすらならず、ゴミ箱が指定席になってしまう。やりたいことがないわけではないんだから、もう少し悪あがきをすべきだ。

たくさんのことを途中で放り出している。少しは片付けないともったいない。となると、さしずめ必要なのは体力だ。うん。もっと身体を気遣おう。


2012年4月25日(水)くもりあめ

午前中、位相数学の講義。40人以上の若い学生さんたちが入った狭い教室で汗だくになって一生懸命しゃべるが、なかなかうまくいかない。だが、まだまだ挫けてはいけない。先は長い。来週の水曜日は月曜日のスケジュールで授業をする日なのでこの講義はお休み。この2週間を利用してテキストを仕上げよう。

午後は910くんの大学院セミナー。ひとまず新井本第一章を読み終えた。セミナー中に雨が降り出したので、910くんちの洗濯物がパアになった由。

連休がいまから少しだけ楽しみ。お金がないからたいした遊びはできないが、徳山の動物園とか「ウィーン」とかマツノ書店とか久しぶりに行ってみたい。

何もしてやれなんだけれども、妻の誕生日である。誰か何かプレゼントしてやってください。


2012年4月24日(火)はれ

幸い妻は仕事の電話ができる程度には快復したようだ。朝、かけうどんを作って妻に食わせ、子供らに昨晩の残りご飯で作ったおにぎりを食わせて学校へ送り出したら、ちょうどご飯もうどんもなくなって自分が朝飯を食うタイミングを逸した。それで、きょうは珍しくもフレッシュネスバーガーでブランチ。外はたいへんいい天気で暑いくらい。

午後は四年生のゼミ。0-1くんは和集合の公理。H(K)くんは述語論理の完全性。慌てても仕方がないのでゆっくり確実に行こう。

なんだか腰が痛いので電車で帰宅。懸案事項を幾つか片付けたが明日の授業で返却予定の先週の小テストの採点がまだだ。こりゃ少々夜なべせにゃなるまい。


2012年4月23日(月)はれ

昨晩から妻が喘息の発作を起こしてダウン、今朝さっそく病院で一時間かけて点滴を受け、午前中いっぱい休養させてもらって戻ってきた。なんのことはない。昨日のバイトは病院代を稼ぎに行っていたようなもんである。これは今日一日くらいは俺が面倒をみてやらんといかんのだが、どうしても一時は大学に行かねばならん用だってある。小学校が家庭訪問週間なもので、子供らは給食を食ったら帰ってくる。近所のコンビニでおやつを買わせ、入れかわりに出かけることにする。【娘】ももう5年生で、ちょっと跳ねっ返りが強くなって母親と衝突するようにもなったが、それなりに事情だってわからんわけじゃないから、きょうに限ってはかいがいしく世話を焼いてくれたらしい。ありがたいことだ。【息子】にもよく言って聞かせたつもりだが、こいつはまああいかわらずで、悪戯ばかりだ。夕食の用意は当然俺がする。時間もかけられず、妻のお粥の用意も必要で、おまけに三口のガスコンロのうち一口が故障中だ。白菜と焼き豆腐を買ってきて、鶏肉と野菜の水炊きにする。こちらもまだまだ体調が万全ではないので、少々きつかった。


2012年4月22日(日)あめ

日中、妻はバイトに出かけている。体調もちょっとは快復してきたし、たまにはいいだろうと思って、俺が子供らをエミフルに連れていくことにした。お昼前に出かける。【娘】はまるきり初めてだ。【息子】は一度行ったことがあるのだが、きれいに忘れているらしく、郡中線に乗れるだけでも、けっこう嬉しそうだ。

昼食は『一汁五穀』、おやつはズーアドベンチャーのアイスクリーム。愛媛県歴史文化博物館のマスコットキャラクター「はに坊」がチラシ配りに来ていて。予期せぬ再会に【息子】は大喜びだ。子供らはそれなりに楽しんだようでよかった。3時半ごろ離脱。

はに坊と子供たち
よい子たちに愛想する はに坊
背中を見せているのはうちの子ら

まあしかし、ありゃ日曜日に寄りつくようなところじゃないね。なにしろ人が多い。0歳から80歳代まであらゆる年齢層の人がやってきていて、たいへんな人出だ。お祭りでもないのに何の騒ぎだろうってくらい。食事だけでもひと仕事で、『一汁五穀』で昼飯にありつくのに、13時10分ごろから30分待ちだった。俺たちは電車で行ったけれども、妻の友人のまぁは、よせばいいのに子供を連れて車で行っていたらしく、帰りは屋上の駐車場から車を出すのに一時間ほどかかったそうだ。特にどこに行く理由もないけどオシャレな格好をして歩きたいだけの人たちや、お互いの週末の予定を占有しておきたいがためにこれといって用事もないけど一緒に出かけることにしている若い男女などなどが集まるところは、若いころから苦手だったけど、これからも、なるべく近寄らないことにする。ショッピングモールも映画館もカフェもカラオケもあってデートには最適だから、若い人たちでどうぞ。俺たちは、老いも若きもこぞってエミフルに詰めかけてくれるおかげでずいぶん静かになった銀天街やフジグラン松山あたりで平和に買いものしておくわ。

なお「一汁五穀」は「イットゴコク」と読まねばならんそうだ。んなアホな。


2012年4月21日(土)くもり

それにしても体調が戻らない。

ひのさんと奥さんのユニット Lino Coconuts のCDが届いた。一聴、なるほどこれはひのさんが高校生の頃から追求していた音楽だとわかる。


2012年4月20日(金)あめ

朝は雨。昼間は晴れ間も見えたが、夕方からは曇り空。普通に仕事にでかけるが、あまりはかどらない。もっとも、普段からあまり生産的とはいえないけどな。

〜*〜*〜

今日から始まった三年生のセミナーは自分たちでちゃんと進めようという意思がはっきりしていて大変好ましい。今日も、ほとんど口を挟む必要がなかった。


2012年4月19日(木)あめ

一日、家でおとなしく過す。夜、ほんのちょっとだけPOV-Rayのシーンファイルをいじる。


2012年4月18日(水)あめ

頭痛と微熱が続く。午前中の位相の講義だけはなんとかこなすが、午後の910くんのセミナーはお休みにさせてもらうことにした。

先日から書いているテキストの最初の2つのセクションを配布。印刷が上がってきたのを見ると、図形にグレースケールで影のつけたところが反映されていないところがあった。ある程度予期はしていたが、どうしてもマズいところだけ網掛けに変更したものを別に配る。§3以降はグレースケールをやめて全部網掛けでやることにする。PDFでオンライン公開するぶんはグレースケールのほうがいいようにも思う。それはまあ、また別に作るとしよう。


2012年4月17日(火)あめ

朝から微熱。午後の4年生のセミナーはH(K)くんが就活のため今週もお休み。0-1くんは新キューネン本で、共通部分をあらわす記号 \(\cap\) や順序対の記号 \(\langle\;,\;\rangle\) の定義について吟味する。


2012年4月16日(月)くもり

午前中、銀天街のタリーズコーヒーで、あいかわらずの Asymptote と LaTeX。その後、銀天街GET3階の100均で球面とトーラスを買う

あー、つまり、オモチャのボールと輪投げの輪です

午後、オフィスでうたた寝をして風邪を引いたがひいたか、夕方から身体がだるく感じられるようになったので、電車で帰宅しすぐ横になる。


2012年4月15日(日)くもり

テキストの「連結性」のセクションを書き終える。図形の性質を調べるために位相空間の知識の応用しようと思うと、まずは、連結性とその関連概念をマスターしなくちゃならない。連結性が位相不変であることを利用すれば、円周と区間が同相でないことや閉区間と開区間が同相でないことなどの証明ができる。そのあたりになってようやく、意味のある面白い話になってくる。やるからにゃあ、そこまで学生たちを連れて行きたい。


2012年4月14日(土)あめ

昼食の買い出しに行ったついでに、道端の雑草をつんで帰って飾る。

小さな花
雑草なりに一生懸命咲いている


2012年4月13日(金)あめ

一日、小雨が降ったり止んだり。先日から書いている位相数学のテキストについては、もはや「要約」を意味するレジュメという言葉は使うまい。いままでに書いた部分をひととおり校正して、最初の二つのセクションを印刷にまわす。夜には自宅のダイニングテーブルにMacBook Proと17インチの液晶モニタを置いて、連続写像がらみの内容(商空間や直積空間を含む)を扱うセクションの校正を済ませた。これでこの先のもっと進んだ内容 (といっても、連結性と分離公理とコンパクト性だけど)を書き始められる。

ご家庭の食卓でマルチモニタ
外付け液晶モニタに組版結果のPDFを Preview.app で表示し
(というのもAdobe Readerでは自動リロードしてくれないから)
MacBook Proの画面にはJedit Xでのソースの編集窓を写している

それにしても、全部で§9まである予定のテキストなのに、最初の3セクションで40ページにもなってしまったんだから、我ながらアホちゃうかと思う。

金曜の午後には三年生のセミナーがある。俺の受け持ちは4人。テキストは、こちらが提示した候補5冊のうちから、4人が相談して寺澤順『はじめてのルベーグ積分』(日本評論社)に決定。彼らは、自分たちできちんと相談して分担を決め、俺が何も言うまでもなく自発的に自費でのテキスト購入を決めた。かなり意欲的で、今後が期待できる。

夕方はいつものようにピアノのレッスン。その後ちょっとだけジュンク堂に寄る。といっても、お金のない時期とて、何も買わない。帰りの電車では、積分論の歴史についての定評ある解説書である、Thomas Hawkins の “Lebesgue's Theory of Integration, Its Origins and Development” (2nd Ed., 1975, Chelsea Publ.) というのを読む。

夜、Facebookのコメント欄を「なんちゃってチャットルーム」にして、高校の部活の先輩(で兄の同級生)の伊藤さんとヒノサンと俺の三人で会話。サックスはいま楽器がないからアレだけど、またフルートを練習しようかなという気になる。本当に友達というのはありがたいものだ。高校を卒業してそろそろ30年近く経とうというのに、一緒に演奏したシーンをちゃんと覚えていてくれて、「またやろうぜ」なんて誘ってくれる。しかし、いまフルートを持ち出してきたとして、さて、音が出るかなあ。


2012年4月12日(木)はれ

【娘】の11歳の誕生日。昨日の雨から一転してとても爽やかな晴天になった。明日はまた天気が崩れる見込みだというが、きょうに限ってこんないい天気になったのは、つまり【娘】の日頃の行いのよさというものだ。花園町のモンマルトルで小さなケーキを買い、フジグラン松山ではやみねかおるの本を二冊買ってお祝い。TwitterとFacebookで何人かの人におめでとうと言ってもらったので、お返事として、【娘】にお礼を言わせてiPhoneに音声入力させたものを送る。

〜*〜*〜

何か身近な現象、例えば「星が見えること」について、それはなぜかと自問してできるだけたくさんの答を書き出してみよう。

星があるから
自分がいるから
星が光っているから
自分が見ているから
夜が暗いから
空が透明だから
途中に光をさえぎる障害物がないから

大事なのは、普段は当たり前と思っていることに、いろいろな観点からたくさんの理由を考えるということだ。それで、たとえば昼と夜の明るさの違いということに改めて思いを致し、空に輝く太陽を見上げる。太陽の圧倒的な光を俺たちは直視することはできない。とすると、星が見えることの理由というか条件のひとつに、星が明るすぎないことも挙げられることに気づく。だって夜空の星がみんな太陽の明るさだったら、ひとつひとつの星を見ることなどとてもできないだろうから。

もちろん、そんな風にいろいろ考えても、何がどうなるわけでもないのだけど、物事への興味・感心関心が鈍ったり好奇心が擦り切れてしまったりすることを、少しは防げるんじゃないかと思った。


2012年4月11日(水)あめ

新年度の開講日。午前中の2コマ目に3年生向けの位相数学の講義。初日の2コマ目なら、3年生にとってはこれが最初の専門科目の授業であろう。3年生の専門科目はいよいよ本格的に数学らしい数学が始まり、位相といい代数といい、急に抽象的で難しい議論になってくる。きょうの授業内容は集合と写像の記法の復習が主だったが、与えられた写像のもとでの集合の逆像をもとめる例題として整数を定数倍する写像を扱い、その上で「これは整数の話だからみなさん説明されればわかると思いますけど、抽象的な数学というのは、扱っている対象が何であっても同じやり方できる部分を取り出して議論しているわけです。だから一見したところ何を扱っているのかわかりにくい。一般的で無内容に思えますが、数学的現象の特定の面をとらえる「ものの見方」の習得を目的とするものであり、空虚で無内容な単なる観念の遊びでは決してないのです。」と強調した。

Facebookで高校の同級生のヒノサンと連絡がとれた。部活のためだけに学校に行っていたような高校時代を過ごした俺は、クラスの活動にはあまり積極的でなかったから、部活関係者以外の同級生にはもはや連絡がつくことはなかろうと思っていたので、たいへん意外かつ嬉しかった。ヒノサンは吹奏楽部員でこそなかったが音楽好きだったので、折に触れては一緒に演奏をしていたのだ。いまでは大阪でジャズピアニストとして活動しているらしい。すばらしい。そのうちぜひライブにお邪魔したいところだ。

こんな調子で、俺にとってはFacebookは旧交を温めるためのツールという位置づけになっている。それに対してTwitterは新しい関係、とくに若い人とのつながりを広げていくツールである。


2012年4月10日(火)くもり

午後は学部4年生のセミナー。H(K)くんは就活のためお休みで、0-1くんのセミナーは、新キューネン本のI.3節、集合論の公理系の記述のところだ。

妻の友人でホルニストの通称「ルンホのハナちゃん」が訪問演奏ボランティア活動のために松山にきている。妻はきょうハナちゃんと遊びに行ったそうだ。午前中に道後のぎやまん美術館に行き、お昼前に下校した子供らを交えて耕庵で昼食後とべ動物園というコースだったらしい。で、夕食をうちで一緒に食べる予定になっていたので、俺が得意料理の「ぱぱラーメン」を作ることにした。これまでの実績で一番人気の味噌ラーメンにしたが、いつもの生中華麺が、あいにく賞味期限ぎりぎりで半額になったやつしかスーパーになかった。それと妻の作った煮豚の味しみが今ひとつだったこともあって、もちろんそれなりに食えるものではあったが、お客様に出すにはちょっと残念な仕上がりになってしまった。子供らは久しぶりに家にお客様がみえたことに興奮して大はしゃぎで、たいへん面白うるさかった。【息子】なんか「ハナちゃん泊まっていってぇー」なんて言い出すしまつ。わははは。それは無理ですな。


2012年4月9日(月)くもり

なかなか暖かい日で、冬物のアンダーシャツ着ていったら汗だらけになった。午後はレジュメ作り。前半部の本文はほぼ書き上げたが、図を入れたり演習問題を入れたりの作業をしていたら、とても水曜日午前中の最初の講義には間に合わない。仕方がないので、初回は集合の記法の復習に当てることにして一週間稼ぐことによう。


2012年4月8日(日)はれ

きょうは珍しく三食とも俺が作った。朝食はオムレツまたはベーコンエッグ。いや、「オムレツまたはベーコンエッグ」なんて料理はないが、【息子】がオムレツ、【娘】がベーコンエッグを食いたがったので、たまたま機嫌がよかった俺は両方のリクエストに答えてやったのだ。昼食は簡単に冷奴とかみなりこんにゃく。ただし昨日の肉味噌や釜揚げちりめんの残りもある。夜には自家製餃子に春雨入り中華風スープ。餃子のタネは昼食後すぐに仕込んで夕方まで寝かせておいた。タネの仕込みと焼きは俺が担当し、包むのは妻と【息子】にやってもらった。全部で37個できたが、4人であっというまに完食。春雨入りスープもうまかった。いや、春雨というか、あれはマロニーというものらしい。

午後もだいぶ遅くなってから、4人揃ってコミセンの図書館へ行った。先日借りた本をろくに読まぬままに返却期限が来てしまったからだが、たしかにこのところ専門外の本を読む時間は全然なかった。いまも借りてまで読む本はないので、俺は何も借りず。帰りがけには久しぶりに幸町公園に立ち寄った。ここでも桜が花盛りで、俺たちが行ったときには大きな桜の木の下で老夫婦が娘さんだかお孫さんだかに写真を撮ってもらっているところだった。


2012年4月7日(土)くもり

家でダラダラ過ごす。基本的には講義レジュメを書く作業をしているのだが、子供らが騒ぐうえに昨晩の夜更かしがこたえてはかどらない。昼食に肉味噌のレタス添えともやし炒め。夕食に小松菜と油揚げの煮浸し、もやしの和え物、ちりめん丼、玉ねぎとわかめのスープ。子供たちが久々にTVゲームで遊ぶ。


2012年4月6日(金)くもり

午前中いつものカフェで講義ノートの内容を考える。水曜日開講なのにまだ半分も出来上がっていない。さしあたり必要な部分はできているんだから、それでいいようなものなのだが、ここで手を弛めるとまたなしくずし的にゆるゆるになってしまう気がする。開講前からそんな心構えではいかんわ。

出向いたのが普段より一時間以上遅かったこともあって、カフェでノートに位相空間論のいろいろの初歩的な結果の証明を書きつけているうちに気がつけば10時半になっていた。そろそろ大学に向かおう。大街道の井上真珠店の前を通る。ここの店長の奥さんは数年前まで吹奏楽団でいっしょに活動していたフルーティストで、先月下旬に初めてのお子さんが生まれたばかりだ。店に立ち寄って店長に一言お祝いを申し上げる。

俺「このたびはおめでとうございます(にこにこ)」
店長「ありがとうございます(にこにこ)」
俺「女の子はかわいいですよぉ(にこにこ)」
店長「本当に、日に日に可愛くなりますね(でれでれ)」
俺「そうでしょうそうでしょう(にたにた)」
店長「(´▽`)…(でれでれ)」
俺「(´∀`)…(にたにた)」
店長「(´▽`)…(でれでれ)」
俺「(´∀`)…(にたにた)」
店長「(´▽`)…(でれでれ)」
俺「…じゃあ、また妻といっしょに来ますね、おじゃましました ( ´ ▽ ` )ノ」
店長「ありがとうございました(´▽`)…(でれでれ)」

なんだか会話になってない? いや、こっちだって第一子長女の父親だから、店長のいまの\\(´∀`)//な気持ちは胸に覚えがある。御託は蛇足というものである。

夕方のピアノのレッスンでは前回注意された部分がずいぶん良くなったと先生に言ってもらえた。この一週間は帰省やら何やらあってろくに練習できず今朝ようやく少しさらえた程度だったので、改善しているなんざまるで期待していなかった。だから先生に改善を認められたのは意外かつ嬉しかった。

ひとつ勉強になった。良いことは、期待しないところで起こったほうが嬉しい。なにしろ期待ばかりつのらせているとかえって失望が多いものだからな。期待するものの少ない人生のほうが幸せの多い人生なのかもしれない。

ともあれ、いままでよりリラックスしてピアノに向かえたというのなら、先日からの断酒の効果が早くも現れたからだと勝手に思い込んで、禁酒の動機づけを高めるのに利用させてもらう。

夜、妻子が寝静まってから講義の準備を続ける。途中に風呂とかネット徘徊とかを差し挟んでダラダラ続けているうちに朝の4時半になってしまい、さすがに頭が働かなくなって就寝。


2012年4月5日(木)くもり

旧知の何人かの人たちと Facebookで「友達」になった。Facebookは機能が多すぎてよくわからないこともあってこれまであまり使っていなかったが、同窓会的な使い方にはちょうどいいかもしれない。だからというわけではないが、Facebookでの友達はリアルに面識のある人たち限定と決めている。

昨晩あんなに頑張ったのはいいけど、きょうの昼間は眠くて仕方がなかった。午前中は910くんのセミナー。1階論理のコンパクト性。来週以降平日朝に大学院向け講義が入る関係上、大学院ゼミは次回から水曜午後に変更。夕方、にわか雨と電光。いつもの医者でいつもの薬をもらう。戻ってきた妻子といっしょに問屋町のすき家で夕食。歩数計カウント8,333歩。

さて、昨晩遅くに書いた日記の数学ネタだが、書けなかった「解決編」の部分が実は間違っていることに気がついた。残念だ。昨晩書いた部分は確認しながら書いたつもりだから間違いは混入していないはずだ。だからそちらはおおむねそのまま残すけれど、先を続けようがない。なのでこの話は打ち切りにさせてもらわねばならない。面目ない。


2012年4月4日(水)はれ

午前中、新二回生のガイダンスに顔を出す。ただし、今年度は二回生向けの授業を俺は担当しない。夕方から三回生向けの位相の講義レジュメづくりを再開。夕食をはさんで夜11時過ぎまで続け、一旦うち切って帰宅。たいてい調子が出だすのが午後4時半を回ってからというのは、本当はよくないので、おいおい生活のリズムを改善しなければならないとは思うのだけど、差し迫った用件があるとどうしてもそちらに気をとられて将来を見越した配慮がなおざりになる。まあ、今回はきちんと食事だけはしたからまだマシだね。歩数計カウント11,799歩。

妻子は昨日から二泊の予定で実家を訪ねる予定だったのだが、昨日はあの大風で船が出なかった。それで今日から一泊だけ出かけていった。週末まで行っててもよさそうなものだが、明後日は大学だけでなく小学校も入学式だから、新一年生をお迎えする役目の子供たちは、明日の夜には戻ってこないといけないのだった。

やるきのないあひるやるきのないあひるやるきのないあひる

先日からおあずけにしてあった数学ネタを書こう。まず位相空間論で基本的な分離公理の定義をする。

定義 位相空間 \((X,\tau)\) が \(T_0\) 空間であるとは, 異なる二点 \(p,q\in X\) に対して, どちらかを含みどちらかを含まない開集合をとれることをいう. また, \(p\) を含み \(q\) を含まない開集合 \(U\) と \(p\) を含まず \(q\) を含む開集合 \(V\) の両方が必ずとれるとき, この位相空間を \(T_1\) 空間という.

近傍フィルターという言葉を使って言い直すとこうなる: 点 \(p\) の近傍全体の族を \(p\) の近傍フィルターといい, \(\mathcal{U}_p\) と書く. 空間が \(T_0\) であるためには, \(p\neq q\) のとき \(\mathcal{U}_p\neq\mathcal{U}_q\) であることが必要十分である. 空間が \(T_1\) であるためには, \(p\neq q\) のとき \(\mathcal{U}_p\rlap{~~/}\subset\mathcal{U}_q\) かつ \(\mathcal{U}_q\rlap{~~/}\subset\mathcal{U}_p\) であることが必要十分である.

定義 位相空間 \((X,\tau)\) の点 \(p\) だけからなる集合 \(\{p\}\) が閉集合であるとき, \(p\) を閉点という.

補題 位相空間 \((X,\tau)\) が \(T_1\) であるためには, そのすべての点が閉点であることが必要かつ十分である.

だから, 解析学などで出会う距離空間をはじめとする位相空間では, もともとすべての点は閉点である. だが代数幾何などでは, 一点集合 \(\{p\}\) の閉包が全空間になってしまうような《生成点》をもつ位相空間が活躍する. そのような空間は \(T_1\) ではない.

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“コンパクトな \(T_0\) 位相空間には閉点が存在する,” という命題を 閉点定理 と呼ぼう. こいつが今回の主役である.

【ツォルンの補題をもちいた閉点定理の証明】 コンパクト \(T_0\) 位相空間 \((X,\tau)\) が与えられたとして, 二点間の順序づけを \[ p\leq q\iff \operatorname{Cl}(\{p\})\supset\operatorname{Cl}(\{q\}) \] によって定めよう. この関係 \(\leq\) はあきらかに反射的かつ推移的であり, また空間が \(T_0\) であることから反対称である. したがって \((X,\leq)\) はひとつの半順序集合になっている. この半順序集合の全順序部分集合 \(C\subset X\) に対して, 集合族 \[ \big\{\,\operatorname{Cl}(\{p\})\,:\,p\in C\,\big\} \] は有限交叉性をもつ閉集合の族になっているから, \(X\) のコンパクト性により, 共通要素をもつ: \(q\in \bigcap_{p\in C}\operatorname{Cl}(\{p\})\). この共通要素 \(q\) は半順序 \(\leq\) にかんして \(C\) の上界になっている. したがって, 半順序集合 \((X,\leq)\) はツォルンの言う意味で帰納的半順序集合である. ツォルンの補題により \(X\) 半順序には \(\leq\) の意味での極大要素 \(m\) が存在する. \(m\) が極大であることは, \[ p\in\operatorname{Cl}(\{m\})\implies p=m \] と書ける. これは \(\operatorname{Cl}(\{m\})\subset\{m\}\) を意味するから \(m\) は閉点である. 【証明終】

上の証明では半順序構造にかんする条件と位相空間の条件とがうまく照応しており, この照応関係を介してツォルンの補題から閉点定理が自然に導かれる. そこで, こんどは逆に閉点定理からツォルンの補題を導けないかと考える. 半順序集合 \((P,\leq)\) が与えられたとき, \(\leq\) にかんして下向きに閉じた集合, すなわち条件 \[ p\in A,~q\leq p\implies q\in A \] をみたす集合 \(A\) を開集合とよぶ, という位相を入れて考えることがよくある. ここではこれを仮に下向き位相と呼ぼう. この位相のもとで \(P\) は \(T_0\) 空間になる. これは順序づけ \(\leq\) が反対称: \[ p\leq q,~q\leq p\implies p=q \] であることの言いかえになっている. また, 下向き位相の閉集合とは, \(\leq\) にかんして上向きに閉じた集合, すなわち \[ p\in F,~p\leq q\implies q\in F \] をみたす集合 \(F\) のことである.

補題 半順序集合 \((P,\leq)\) の下向き位相のもとで, 各要素 \(p\in P\) について \[ \operatorname{Cl}(\{p\}) = \big\{\,q\in P\,:\,p\leq q\,\big\} \] が成立する. したがって \(p\) が下向き位相の閉点であることと半順序の極大要素であることとは同値である.

ここまでは実にうまくいっているが, 次がちょっと問題だ. \((P,{\leq})\) の下向き位相がコンパクトであるためには, \(\leq\) にかんして上向きに閉じた集合の有限交叉性をもつ族が必ず共通部分をもてばよい. この条件は, \((P,\leq)\) が帰納的半順序であるという条件よりもずっと強い. とすると, 閉点定理は帰納的半順序より強い条件をみたす半順序集合についてだけ極大要素の存在を保証してくれる, ツォルンの補題の限定バージョンということに, (見かけ上は)なってしまう. ここをどう切り抜けるか. 一般の帰納的半順序を, この意味で“コンパクトな半順序”に帰着させることができるのだろうか.

書いているうちに夜も遅くなったので, 解決編は明日のお楽しみということで…


2012年4月3日(火)あめくもり

全国各地でえらく強い風が吹いている。昼前から愛媛県全域に暴風警報・波浪警報が出っぱなしで、交通機関も麻痺状態のようだ。この時ならぬ春の嵐が一日早く来ていたら俺達は京都に足止めを食っていたか、あるいは時化の海で船酔いゲロゲロばぁ〜になっていたわけで、時の運というのは不思議なものだ。

きょうから新年度の業務に本格的にとりかかるが、週末の旅行のおかげでかなり疲れていて、普段にもまして物事がはかどらない。午前中は理系学部の新入生の「数学力テスト」の監督をしてきた。午後は四年生のセミナー。0-1くんは公理的集合論の手前の形式的体系に関する議論で「定義による拡張」の話。H(K)くんはエルブランの定理と述語論理のコンパクト性。


2012年4月2日(月)くもり

朝のうちに実家を出発して、京都駅八条口から大阪南港フェリーターミナルに向かうバスに乗る。バスには俺たち以外の利用者はなく貸し切り状態。新居浜行きフェリーは12時40分発。こちらも空いていて、二等の雑魚寝の部屋でも結構快適だった。京都から松山まで5時間の高速バスがあるこの頃は、昼のフェリーを利用する人は少ないのだろう。

ピンクのバス

新居浜上陸は20時すぎ。松山の自宅に戻ったのは22時ちょっと前だった。復路は非常にスムースだったがやはりそれなりに疲れた。


2012年4月1日(日)くもり

一日実家でのんびり過ごす。昼前に義妹のトモコさんが来て、昼すぎには兄夫婦がきて昼飯を食って帰り、夕方には弟がきて晩飯を食ってから妻子ともども帰って行った。昼メシのうどんは俺が作ったが、11人前というのは初体験の分量だった。中途半端に余ったうどん麺を全部茹でて大盛り3人前くらいを一人で食ったのでさすがに苦しくなって、晩飯の鍋をあまり食えなかった。