本を出しました

各タイトルの紹介

『魅了する無限――アキレスは本当にカメに追いついたのか』

藤田博司著
技術評論社 2009年 2月25日
ISBN 978-4-7741-3761-2
本体価格1,580円

「知りたいサイエンス」シリーズの一冊。数学好きの一般読者のみなさんに、無限の不思議をいろいろな切り口から語る本です。数学的な無限論のやさしい解説(第1章，第2章)はもちろんのことですが、「アキレスとカメ」をはじめとするゼノンのパラドックスについてこの10年ほど考えてきたことを世に問う第3章にも、どうかご注目ください。

プロローグ――ガンジス川の砂

第1章　さまざまな無限

1-1　消えたジンジャーエールの瓶
1-2　ヒルベルトの無限ホテル
1-3　無限は数ではない
1-4　素数は無数にある（無限観の変容)
1-5　無限に出あわない理由？（アルキメデスの原理）
1-6　線分上の点の数
1-7　無限の遠方と平行線
コラム1-1：ジンジャーエールを使ったカクテル
コラム1-2:アルキメデスという人
コラム1-3:とり尽くし法による，円錐の体積の計算

第2章　実数の連続性をささえる無限

2-1　無限小数と出会う
2-2　実数〈ルート2〉を追跡せよ
2-3　犯人は蒸発しない（実数の連続性）
2-4　無限和は足し算だろうか
2-5　p進整数の世界
2-6　調和級数とライプニッツの級数
コラム2-1：ゼロで割り算をしてはいけない理由
コラム2-2：円周率πの数値計算について
コラム2-3：循環小数と非循環小数
コラム2-4：ワイエルシュトラスの原理
コラム2-5：ライプニッツという人

第3章　ゼノンのパラドックス

3-1　ゼノンの4つのパラドックス
3-2　数と変化
3-3　数と反復
3-4　アキレスとカメ
3-5　ちょっと数学的に考えてみる
3-6　慣性の法則と時間の計量
3-7　時間と空間の連続性
3-8　証明の完成
コラム3-1：パラドックスという言葉
コラム3-2：ギリシャリクガメ

第4章　数のシステム

4-1　数学的帰納法
4-2　なぜ，自然数論の公理が必要なのか（そもそも公理とは？）
4-3　ペアノの自然数論
4-4　デデキントの自然数論とフレーゲの自然数論
4-5　自然数から整数へ
4-6　整数から有理数へ
4-7　有理数から実数へ
4-8　実数直線の連続性の証明
4-9　実数から複素数へ
コラム4-1：浮世根問とソクラテス

第5章　無限と連続の謎と魅力

5-1　再び，ヒルベルトの無限ホテル（可算無限）
5-2　実数の全体は可算でない
5-3　カントールの集合論と，無限に多くの無限
5-4　連続体問題
5-5　ロビンソンの超準解析
5-6　百科事典棒
5-7　連続体と「アガスティアの葉」
コラム5-1：カントールの定理と対角線論法

エピローグ――連続体と時間と無限

『集合論――独立性証明への案内』

ケネス・キューネン著, 藤田博司訳
日本評論社 2008年 1月20日
ISBN 978-4-535-78382-9
本体価格4,500円

数学の基本ボキャブラリとしての集合論から一歩を進めて、専門的な研究分野としての集合論を学びたい人のための本。原著は1980年発刊で、以後一貫して、この分野の定番テキストとしての不動の地位を獲得しています。強制法による独立性証明という当該分野の必須のツールを学ぶための必読書で、世界中の集合論の専門家のなかに、この本(原著)を読んでいない人はいないと断言してよいと思います。この名著の誉れ高い原著の語り口の明快さを損なわないように、また、なるべく自然な日本語に訳出するように、けっこう努力しました。

序　章

1　無矛盾性
2　必要な予備知識
3　概要
4　この本の読み方
5　この本に書かなかったこと
6　参照について
7　公理

第１章　公理的集合論の基礎

1　公理を使う理由は?
2　論理を形式化する理由は?
3　数理哲学
4　解釈について
5　外延性と内包性
6　関係、関数、整列順序
7　順序数
8　新しいことばの定義について
9　クラスと再帰的定義
10　基数
11　実数
12　補遺1：ZF以外の集合論
13　補遺2：定義されたことばの除去
14　補遺3：メタ理論の形式化について
第１章の演習問題

第２章　無限集合の組み合わせ論

1　ほとんど交わりがない集合族と、交わりが一定の集合族
2　マーティンの公理
3　MAと同値な命題
4　ススリンの問題
5　木
6　閉非有界(c.u.b.)フィルター
7　◇と◇+
第２章の演習問題

第３章　整礎集合

1　はじめに
2　整礎集合の性質
3　整礎的関係
4　基礎の公理
5　整礎的関係に関する帰納と再帰
第３章の演習問題

第４章　やさしい無矛盾性証明の例

1　非公式な三つの証明
2　相対化
3　絶対性
4　基礎の公理についてもう一言だけ
5　絶対性についてもう少し
6　H(κ)について
7　各種の反映定理
8　補遺1：相対化についてもう少し
9　補遺2：メタ理論のもとでのモデルの理論
10　補遺3：形式化された理論のもとでのモデルの理論
第４章の演習問題

第５章　定義可能性を定義する

1　定義可能性の形式化
2　順序数定義可能集合
第５章の演習問題

第６章　構成可能的集合

1　Lの基本的な性質
2　LにおけるZF
3　構成可能性公理
4　Lにおける選択公理と一般連続体仮説
5　Lにおける◇と◇+
第６章の演習問題

第７章　強制法

1　一般的な注意事項
2　ジェネリック拡大
3　強制
4　M[G]はZFCをみたす
5　有限な部分関数を用いた強制
6　より大きな部分関数を用いた強制
7　埋め込み、同型、ブール代数値モデル
8　その他の結果
9　補遺：他のアプローチと歴史についてのコメント
第７章の演習問題

第８章　反復強制法

1　半順序の積
2　コーエンのモデルについてもう少し
3　クレパの仮説の独立性
4　イーストン式強制
5　反復強制法の一般論
6　マーティンの公理の無矛盾性
7　可算サポート反復
第８章の演習問題

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