ブール代数 \(\mathcal{A}\) の部分集合 \(S\) が上限 \(\bigvee S\) を持つとする. このとき, \(a\) が \(\bigvee S\) と両立するならば, \(s\in S\) が存在し, \(a\) は \(s\) と両立する. なぜなら, もしもすべての \(s\in S\) について \(a\wedge s=\mathbb{0}\) だとすると, \(a\) の補元 \(a'\) が \(S\) の上界ということになり, \(\bigvee S\leq a'\) したがって \(a\wedge\bigvee S=\mathbb{0}\) となってしまうから.
完備埋め込みが完備単射準同型であること.
\(S\subset\mathcal{A}\) に上限 \(\bigvee S\) が存在するとし, \(b\in\mathcal{B}\) が \(i“S\) の上界のひとつとする. \(i(\bigvee S)\not\leq b\) と仮定して矛盾を導く. このとき \(i(\bigvee S)\land b'\neq\mathbb{0}\) なので, \(i(\bigvee S)\land b'\) の縮約を \(c\) とする. \(i(c)\) は \(i(\bigvee S)\land b'\) と両立するので, \(i(\bigvee S)\) とも両立する. したがって, \(c\) と \(\bigvee S\) は両立するので, \(c\) と ある \(s\in S\) は両立する. ゆえに, \(d\leq c, s \) となる \(d\) が存在する. \(i(d)\leq s\leq b\) なので, \(i(d)\land b'=\mathbb{0}\) であるが, これは \(d\leq c\) より \(i(d)\) が \(i(\bigvee S)\land b'\) と両立することと矛盾する. よって, \(i(\bigvee S)\) は \(i“S\) の上界のうち最小のものとなるので, \(\bigvee i“S=i(\bigvee S)\) となる. 特に, \(S\) が 2 元集合の場合を考えると, \(i(a\lor b)=i(a)\lor i(b)\) が成立している. \(i(\mathbb{1})\neq \mathbb{1}\) として矛盾を導く. \(i(\mathbb{1})'\) の縮約を \(a\) とすれば, \(a\leq\mathbb{1}\) より \(i(a)\leq i(\mathbb{1})\) となるが, これは \(i(a) \) と \(i(\mathbb{1})'\) が両立するという仮定と矛盾する. \(a\perp a'\) なので \(i(a)\land i(a')=\mathbb{0}\) である. 一方 \(a\lor a'=\mathbb{1}\) より \(i(a)\lor i(a')=\mathbb{1}\) であるから, 合わせて \(i(a')=i(a)'\) が成り立つ. \(\land\) は \(\lor, '\) で表すことができるので, \(i\) は準同型写像となる.
\(i(a)=i(b)\) とする. \(i(a')=i(a)'\perp i(b)\) より \(a'\perp b\) なので, \(b\leq a.\) 同様の議論で \(a\leq b\) も成立するので, \(a=b\) でなければならない.
\(b\in\mathcal{B}\) とするとき, \(S_b=\{\,a\,:\,b\leq i(a)\,\}\) とおく. \(S_b\) の下界全体の集合が \(b\) の縮約全体と一致することを示す.
\(a_1\neq\mathbb{0}\) が \(S_b\) の下界ならば, \(i(a_1)\) と \(b\) は両立する. そうでないとすると, \(i(a_1)\land b=\mathbb{0}\) となるが, これは \(i(a_1)'\lor b'=\mathbb{1}\) すなわち \(b\leq i(a_1)'=i(a_1') \) と同値. すなわち, \(a_1'\in S_b\) となるが, \(a_1\) は \(S_b\) の下界なので, \(a_1\leq a_1'\) となり, \(a_1=\mathbb{0}\) が導かれ矛盾する. よって \(a_1\neq\mathbb{0}\) が \(S_b\) の下界ならば, \(a_1\) より小さな元も \(S_b\) の下界なので, \(a_1\) は \(b\) の \(\mathcal{A}\) に関する縮約となる.
逆に \(a_1\) は \(b\) の \(\mathcal{A}\) に関する縮約とし, \(a\in S_b\) とする. \(b\land i(a_1\land a')\leq b\land i(a)'=\mathbb{0}\) となるので, \(a_1\land a'=\mathbb{0}\) となり, \(a_1\leq a.\) したがって, \(a_1\) は \(S_b\) の下界である. \(\bigwedge S_b\) は \(S_b\) の下界であり, \(\bigwedge S_b=\bigvee\{\,a_1\,:\,\text{$a_1$ は $S_b$ の下界}\,\}\) なので, \(\bigwedge S_b\) が存在するならばそれは \(b\) の縮約の最大元となっている.
完備単射準同型が完備埋め込みであること.
ブール代数の順序 \(\leq\) と 関係 \(\perp\) は \(a\leq b\Leftrightarrow a\land b=a\) および \(a\perp b\Leftrightarrow a\land b\neq\mathbb{0}\) で定義できることを用いると, 定義 7.1 の条件 (1), (2) は容易に確かめることができる. (\(a\perp b\rightarrow i(a)\perp i(b)\) の証明で \(i\) が単射であることを用いる. ) 次に \(S'=\{\,a'\,:\,a\in S\,\}\) とおくと, \(a=\bigwedge S\Leftrightarrow a'=\bigvee S'\) となるので, \(i\) が完備準同型ならば \(\bigwedge i“S=i(\bigwedge S)\) も成立することに注意しておく.
したがって, \(b\neq\mathbb{0}\) ならば \(S_b\) は \(\mathbb{0}\) でない下界を持つことを示せば十分である. \(S_b\) の下界が \(\mathbb{0}\) だけならば \(\bigwedge S_b=\mathbb{0}\) となるので, \(\bigwedge i“S_b=i(\bigwedge S_b)=i(\mathbb{0})=\mathbb{0}\) となり, \(b\neq\mathbb{0}\) が \(i{“}S_b\) の下界であることと矛盾する.