(a) \(\mathbf{OD}(T)\) の定義
集合 \(a\) が \(\mathbf{ON}\cup T\cup \{T\}\) の有限個の要素から定義可能というのは, ある式 \(\phi(y_1,\ldots,y_n,z_1,\ldots,z_\ell,w,x)\) (自由変数が示された他にないものとして) と順序数 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) と \(T\) の要素 \(t_1,\ldots,t_\ell\) について \[ \forall x\Big(\;x=a\;\leftrightarrow\;\phi(\alpha_1,\ldots,\alpha_n,t_1,\ldots,t_\ell,T,x)\;\Big)\tag{1} \] が成立するということである. 式 \(\phi\) についての反映定理から, 順序数 \(\beta\) を \(\beta>\max(\mathrm{rank}(a),\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\mathrm{rank}(T))\) かつ \[ \forall x\in R(\beta)\,\Big(\; \phi(\alpha_1,\ldots,\alpha_n,t_1,\ldots,t_\ell,T,x)\,\leftrightarrow\, \phi^{R(\beta)}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n,t_1,\ldots,t_\ell,T,x) \;\Big) \]をみたすようにとれるから, このとき \(a\) は \[ x=a\;\leftrightarrow\;x\in R(\beta)\land\phi^{R(\beta)}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n,t_1,\ldots,t_\ell,T,x)\tag{2} \]をみたす. また逆にこの式をみたす集合 \(a\) は順序数 \(\beta,\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) と \(T\) の要素 \(t_1,\ldots,t_\ell\) と \(T\) 自身から定義可能である. そこで, クラス \(\mathbf{OD}(T)\) を \[ \begin{align} a\in \mathbf{OD}(T)\;\leftrightarrow\;& \exists \beta>\max\big(\mathrm{rank}(a),\mathrm{rank}(T)\big) \exists n,\ell,m\in\omega \exists s\in \beta^n \exists t\in T^\ell\\ &\forall x\in R(\beta)\, \Big(\,x = a\;\leftrightarrow\; s^\frown t^\frown \langle T, x\rangle \in \mathrm{En}(m,R(\beta),{n{+}\ell{+}2}) \,\Big) \end{align} \]のように定義することができ, 定理2.2に対応するメタ定理を証明できる. すなわち, なんらかの順序数 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) と \(T\) の要素 \(t_1,\ldots,t_n\) について式(1)をみたす集合 \(a\) はすべて \(\mathbf{OD}(T)\) に属することが, 式 \(\phi\) ごとに \(\mathrm{ZF}\) から証明できる. 証明もほぼ同様である.
(b) \(\mathbf{HOD}(T)\) は \(\mathrm{ZF}\) のモデルである
クラス \(\mathbf{OD}(T)\) に遺伝的に属する集合のクラス \(\mathbf{HOD}(T)\) を \[ \mathbf{HOD}(T)=\big\{\, a\in\mathbf{OD}(T)\,:\,\mathrm{tr\,cl}(x)\subset\mathbf{OD}(T) \,\big\} \]によって定義しよう. \(\mathbf{HOD}(T)\) は推移的で, \(\mathbf{ON}\) を含むから真のクラスである. そこで, \(\mathbf{HOD}(T)\) が \(\mathrm{ZF}\) のモデルであることを証明するには, 内包性公理を \(\mathbf{HOD}(T)\) がみたすことと, \[ \forall x\subset\mathbf{HOD}(T)\exists y\in\mathbf{HOD}(T)\big(\,x\subset y\,\big) \tag{3} \] を示せば十分である. (→演習問題[6])
[\(\mathbf{HOD}(T)\) が内包性公理をみたすこと] 集合 \(a\in \mathbf{HOD}(T)\) が与えられるということは, 番号 \(n\), \(\ell\), \(m\) と 順序数 \(\beta\) と \(s\in \beta^n\) と \(T\) の要素の有限列 \(t\in T^\ell\) を \[ z = a \;\leftrightarrow\; z\in R(\beta)\land s^\frown t^\frown \langle T, z\rangle \in \mathrm{En}(m,R(\beta),{n{+}\ell{+}2}) \]となるようにとれるということだった. いま, この集合 \(a\) と式 \(\psi\) から集合 \[ b = \big\{\,y\in a\,:\,\psi^{\mathbf{HOD}(T)}(y)\,\big\} \] を作ったとしよう. (ひとまず \(\psi\) にパラメータを含まない場合を考える.) 順序数 \(\beta'>\beta\) を式 \(\psi^{\mathbf{HOD}(T)}\) が \(R(\beta')\) に対して絶対的になるようにとろう. すると, 番号 \(m'\) を \[ \forall y\in R(\beta')\Big(\,\psi^{\mathbf{HOD}(T)}(y)\,\leftrightarrow\, \langle y\rangle \in \mathrm{En}(m',R(\beta'),1)\,\Big) \tag{4} \]となるようにとれる. そこで, \[ \begin{align} \forall y\Big(\;y\in x\;\leftrightarrow\;& \exists z\in R(\beta)\big(\,s^\frown t^\frown \langle T, z\rangle \in \mathrm{En}(m,R(\beta),{n{+}\ell{+}2})\land y\in z\,\big)\\ &\land\;\langle y\rangle\in \mathrm{En}(m',R(\beta'),1)\;\Big) \end{align} \]という式を \(\phi\) とすれば, 集合 \(b\) は \(\beta'\), \(m'\), \(\beta\), \(m\), \(s(0),\ldots,s(n{-}1)\) と \(T\) の要素 \(t(0),\ldots,t(\ell{-}1)\) と \(T\) 自身から式 \(\phi\) によって定義され, \(b\in\mathbf{OD}(T)\) となる. また \(b\subset a\in\mathbf{HOD}(T)\) であるから \(\mathrm{tr,cl}(b)\subset \mathrm{tr\,cl}(a)\subset\mathbf{OD}(T)\) でもある. したがって \(b\in \mathbf{HOD}(T)\) であり, \[ \Big(\,\forall y\big(\,y\in b\,\leftrightarrow\,y\in a\land \psi(y)\,\big)\,\Big)^{\mathbf{HOD}(T)} \]となる. これは式 \(\psi\) についての内包性公理が \(\mathbf{HOD}(T)\) で成立していることを意味している. 式 \(\psi\) がパラメータ \(p_1,\ldots,p_k\in\mathbf{HOD}(T)\) を含む場合, 式(4)の右辺の \(\langle y\rangle\in\mathrm{En}(m',R(\beta'),1)\) が \(\langle p_1,\ldots,p_k,y\rangle\in\mathrm{En}(m',R(\beta'),{k{+}1})\) となり, 式 \(\phi\) には \(p_1,\ldots,p_k\) のそれぞれを定義する式に対応して \(\mathrm{En}\) 関数の参照と順序数のリストと \(T\) の要素のリストを挿入することになる. 複雑さは増すが, アイディアは同じである. (証明終)
[\(\mathbf{HOD}(T)\) が式(3)をみたすこと] これには, 各順序数 \(\alpha\) について \(R(\alpha)\cap\mathbf{HOD}(T)\in \mathbf{HOD}(T)\) を示せばよい. まず \[ x = R(\alpha)\cap \mathbf{HOD}(T)\;\leftrightarrow\; \forall y\Big(\,y\in x\,\leftrightarrow\,\mathrm{rank}(y)<\alpha\land y\in\mathbf{HOD}(T)\,\Big) \]と定義できるから \(R(\alpha)\cap\mathbf{HOD}(T)\in\mathbf{OD}(T)\) である. またあきらかに \(R(\alpha)\cap \mathbf{HOD}(T)\subset\mathbf{HOD}(T)\) であるから, \(R(\alpha)\cap\mathbf{HOD}(T)\) の推移閉包は \(\mathbf{OD}(T)\) に含まれ, したがって \(R(\alpha)\cap \mathbf{HOD}(T)\in\mathbf{HOD}(T)\) となる. (証明終)
(c) \(\mathrm{AC}^{\mathbf{HOD}(T)}\) の条件
\(\mathbf{HOD}(T)\) が \(\mathrm{AC}\) のモデルであれば, 他のあらゆるメンバーと同様 \(T\) も \(\mathbf{HOD}(T)\) において整列順序づけ可能であり, 整列順序づけであることは \(\mathbf{ZF}\) の推移的モデルに対して絶対的であるから, \(T\) を(\(\mathbf{V}\) において) 整列順序づけする関係なんらかの関係が \(\mathbf{HOD}(T)\) に属するのは当然である.
逆に, \(\mathbf{HOD}(T)\) に属する \(T\) 上の二項関係が \(T\) を整列順序づけしているとしよう. このとき, \(\mathbf{HOD}(T)\) においても \(T\) は整列順序づけ可能であり, なんらかの順序数 \(\delta\) から \(T\) の上への写像 \(f\) が \(\mathbf{HOD}(T)\) に属することになる. この写像は \(\delta^{<\omega}\) から \(T^{<\omega}\) の上への写像 \(f^*\) へと自然に拡張される. 定義2.4の関数 \(\mathrm{Enon}\) を使って, 定義2.6と同様に, \(\mathrm{Enon}(\gamma)=s^\frown t^\frown \langle \beta,n,\ell,m\rangle\) かつ \(n,\ell,m\in\omega\) かつ \(\mathrm{dom}(s)=n\) かつ \(\mathrm{dom}(t)=\ell\) で, しかも \(R(\beta)\) のある(一意的な)要素 \(a\) について \[ \forall x\in R(\beta)\Big(\,x=a\,\leftrightarrow\,s^\frown f^*(t)^\frown \langle T,x\rangle\in \mathrm{En}(m,R(\beta),{n{+}\ell{+}2})\,\Big) \]となるならば, \(\mathrm{Enod}^T(\gamma)=a\) とし, それらの条件が揃わないときには \(\mathrm{Enod}^T(\gamma)=0\) とすることによって, \(\mathbf{ON}\) から \(\mathbf{OD}(T)\) の上への写像 \(\mathrm{Enod}^T\) が定義される. この結果を補題2.7の代わりに用いて定理2.13における \(\mathrm{AC}^{\mathbf{HOD}}\) の証明と同様に議論すれば, (\(f^*\in\mathbf{HOD}(T)\) であることにより) \(\mathbf{HOD}(T)\) に属する任意の集合に対して, それを整列順序する二項関係が \(\mathbf{HOD}(T)\) 内に見いだされることがわかり, \(\mathrm{AC}^{\mathbf{HOD}(T)}\) が証明される.