クラスとしての関数 \(\mathbf{F}:\mathbf{V}\to\mathbf{V}\) を, \(\mathbf{F}(0)=1\), \(\mathbf{F}(1)=0\) とし, 集合 \(x\) が \(0\) でも \(1\) でもない場合は \(\mathbf{F}(x)=x\) と定めよう. この \(\mathbf{F}\) について先の演習問題[18]の要領で関係 \(\mathbf{E}\) を定めれば, \(\mathbf{V},\mathbf{E}\) は \(\mathrm{ZFC}^{-}\) をみたす. 真の \(1\) が \(\mathbf{V},\mathbf{E}\) の空集合 \(0^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) であり, \(y\in \mathbf{F}(0)\leftrightarrow y=0\) であるから, 真の空集合 \(0\) は \((x=\{x\}\) をみたす整礎的でない集合 \(x)^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) となっている.
さて, 次には \(\mathbf{F}(0)=\{1\}\), \(\mathbf{F}(\{1\})=0\), それ以外の集合 \(x\) については \(\mathbf{F}(x)=x\) と定めよう. この関数 \(\mathbf{F}\) をもとにして関係 \(\mathbf{E}\) を定めると, \(\mathbf{F}(1)=1=\{0\}\), \(\mathbf{F}(0)=\{1\}\) なので, 真の空集合 \(0\) と真の \(1\) のペアが, \((x=\{y\}\land y=\{x\} \land x\neq y\) をみたす整礎的でない集合 \(x\) と \(y\) のペア\()^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) になる. また, 集合 \(\{1\}\) が \(\mathbf{V},\mathbf{E}\) の空集合 \(0^{\mathbf{V},\mathbf{E}}\) となる.
なお, 蛇足だが, \(x=\{y\}\land y=\{z\}\land z=\{x\}\) となる三つの相異なる集合 \(x,y,z\) が欲しければ, \(\mathbf{F}\) を \[ \begin{align} \mathbf{F}(0)=&\{1\}\\ \mathbf{F}(1)=&\{2\}\\ \mathbf{F}(2)=&\{0\}=1\\ \mathbf{F}(\{1\})=&2\\ \mathbf{F}(\{2\})=&0 \end{align} \] のように定めて同様に考えればよい.