任意の順序数 \(\alpha\) に対して \(\mathcal{P}(\alpha)\) が整列可能であることを仮定する. その仮定のもとで, まず極限順序数 \(\alpha\) を固定して, すべての \(\beta<\alpha\) に対して \(R(\beta)\) 上に整列順序づけ \(W_\beta\) が存在することを証明する.
\(\kappa\) を \(\mathcal{P}(\alpha)\) への単射が存在しない最小の順序数とする (実際は基数となる). 仮定により \(\mathcal{P}(\kappa)\) 上に整列順序づけが存在するのでそれを \(W\) とする.
\(\beta<\alpha\) とする. \(\beta\) が極限順序数の場合は, 整列順序の列 \(\langle R(\gamma), W_\gamma \rangle_{\gamma<\beta}\) から \(R(\beta)\) 上の整列順序づけを構成可能である. すなわち \(x \in R(\beta)\) に対し \(x \in R(\xi)\) となる最小の \(\xi\) を \(\xi(x)\) とする. \(x, y \in R(\beta)\) に対して次のように順序 \(W_\beta\) を定める: \[ \begin{gather} \xi(x) < \xi(y) ~のとき~ \langle x, y\rangle \in W_\beta, \\ \xi = \xi(x) = \xi(y) ~のとき~ \langle x, y\rangle \in W_\xi \leftrightarrow \langle x,y\rangle \in W_\beta. \end{gather} \] 次に \(\beta = \gamma + 1\) の場合を考える. \(R(\beta) = \mathcal{P}(R(\gamma))\) である. \(\langle R(\gamma), W_\gamma \rangle\) と順序同型な順序数を \(\lambda\) とすると \(\lambda < \kappa\) である. \(\lambda\) と順序同型写像は \(\langle R(\gamma), W_\gamma \rangle\) から定義可能であることに注意する. そして \(\mathcal{P}(\lambda)\) には \(\langle \mathcal{P}(\kappa), W \rangle\) の部分集合としての整列順序を導入可能である. 言い換えると \(R(\beta)\) には \(\langle R(\gamma), W_\gamma \rangle\) と \(\langle \mathcal{P}(\kappa),W \rangle\) から定義可能な整列順序が入る.
最初に固定した \(\alpha\) は任意の大きさとすることが可能であり, 一番最初の言明から \(R(\alpha)\) の整列順序を構成する方法は上記帰納法での極限順序数の場合と同様である.