可算集合 \(A\) の要素がどれもまた可算集合だったとする. 全射 \(f:\omega\to A\) をひとつ固定する. いま \[ \forall n\in\omega\exists g\big(\,g:\omega\to f(n),\;\text{onto}\,\big) \]であるから \(\mathrm{AR}^*\) により集合 \(B\) を \[ \forall n\in\omega\exists g\in B\big(\,g:\omega\to f(n),\;\text{onto}\,\big) \]となるようにとれる. 選択公理 \(\mathrm{AC}\) により, この \(B\) の整列順序づけ \(\triangleleft\) が存在する. 関数 \(g_n:\omega\to f(n)\) を, \(B\) に属する \(\omega\) から \(f(n)\) の上への関数のうち \(\triangleleft\) 最小のものとする. あとは, 関数 \(h:\omega\times\omega\) を \[ h(n,i)=g_n(i) \] とすれば, \(h\) は \(\omega\times\omega\) から \(\bigcup A\) の上への写像となるから, \(\bigcup A\) は可算集合である.