超限帰納法で証明する.
まず, \(\alpha=0\) のとき
\[
S(0)=\bigcup_{\xi < 0}\mathcal{P}(S(\xi))=0=R(0)
\]
である.
つぎに, 仮定 \(S(\beta)=R(\beta)\) のもとで
\[
S(\beta+1)=S(\beta)\cup \mathcal{P}(S(\beta))=R(\beta)\cup \mathcal{P}(R(\beta))=R(\beta)\cup R(\beta+1)=R(\beta+1)
\]
となるので, \(S(\beta+1)=R(\beta+1)\) となる.
最後に, \(\alpha\) が極限順序数で \(\forall\xi < \alpha(S(\xi)=R(\xi))\) となっている, と仮定しよう. このとき,
\[
S(\alpha)=\bigcup_{\xi < \alpha}\mathcal{P}(S(\xi))
=\bigcup_{\xi < \alpha}\mathcal{P}(R(\xi))
=\bigcup_{\xi < \alpha}R(\xi+1)\subset R(\alpha)
\]
より \(S(\alpha)\subset R(\alpha)\) である. いっぽう, \(S\) の再帰的定義の式からあきらかに \(\xi < \alpha\,\rightarrow\,S(\xi)\subset S(\alpha)\) なので,
\[
R(\alpha)=\bigcup_{\xi < \alpha}R(\xi)=\bigcup_{\xi < \alpha}S(\xi)\subset S(\alpha)
\]
となり, \(R(\alpha)\subset S(\alpha)\) がわかる. ゆえに \(\alpha\) が極限順序数の場合も \(S(\alpha)=R(\alpha)\) となる.
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