まず最初に, \(\mathcal{A}\) に属する集合たちが互いに交わりを持たない場合に主張が成り立てば, 一般の場合にも主張が成り立つことを示す. \(\mathcal{A}\) の元を \(a_n\) \((n < \omega)\) と番号付けしておき, 各 \(n < \omega\) について \(x_n = a_n \setminus \bigcup_{m < n} a_m\) と定める. すると各 \(n < \omega\) について \(x_n \subset a_n\) なので, \(x_n\) たちは互いに交わりを持たず, また \(|x_n \cap y| \leq |a_n \cap y| < \omega\) が全ての \(n < \omega\) と \(y \in \mathcal{B} \setminus \mathcal{A}\) について成り立つ. また, \(n\) に関する帰納法により \(a_n \subset \bigcup_{m \leq n} x_m\) が示されるので, もし \(\forall n < \omega [ |d \cap x_n| < \omega ]\) かつ \(\forall y \in \mathcal{B} \setminus \mathcal{A} [ |y \setminus d| < \omega ]\) となる \(d \subset \omega\) が存在すれば, この \(d\) は(\(\mathcal{A}\) と \(\mathcal{B} \setminus \mathcal{A}\) に関して)与えられた条件を満たす. 以下このような \(d\) を探す. まず, \(|x_n| < \omega\) であるような \(n < \omega\) については対応する条件が自動的に成り立つことを注意しておく. 今, \(I = \{n < \omega \colon |x_n| = \omega\}\) が有限集合である場合には \(d = \omega \setminus \bigcup_{n \in I} x_n\) が上の条件を満たす. 一方, \(I\) が無限集合である場合には, 族 \((x_n)_{n \in I}\) と \(\mathcal{B} \setminus \mathcal{A}\) の和はほとんど交わりのない濃度 \(\kappa\) の集合族であって \(x_n\) \((n \in I)\) たちが互いに交わりを持たないため, 前提より上の条件を満たす \(d\) が存在する. 以上の結果から, \(\mathcal{A}\) の要素は互いに交わりを持たないものと仮定しても一般性を失わない.
\(\mathcal{A}\) の元を \(x_n\) \((n < \omega)\) と番号付けしておき, 各 \(x_n\) の元を \(\xi_{n,k}\) \((k < \omega)\)と番号付けしておく. すると, \(\mathcal{B}\) はほとんど交わりのない集合族なので, 各 \(y \in \mathcal{B} \setminus \mathcal{A}\) について \(f_y \in {}^\omega \omega\) を, \(\forall n < \omega \forall k < \omega [ \xi_{n,k} \in y \to k \leq f_y(n) ]\) を満たすように取れる. この \(f_y\) \((y \in \mathcal{B} \setminus \mathcal{A})\) たちに演習問題8の結果を適用すると, ある \(g \in {}^\omega \omega\) が存在して, 任意の \(y \in \mathcal{B} \setminus \mathcal{A}\) について \(f_y <^* g\) 即ちある \(n_y < \omega\) が存在して \(\forall m < \omega [ m > n_y \to g(m) > f_y(m) ]\) が成り立つ. ここで \[ d = (\omega \setminus \bigcup \mathcal{A}) \cup \{\xi_{n,k} \colon n < \omega, k < g(n)\} \] と定義する. すると, \(\mathcal{A}\) の要素は互いに交わりを持たないと仮定しているので, 各 \(n < \omega\) について \(d \cap x_n = \{\xi_{n,k} \colon k < g(n)\}\) 従って \(|d \cap x_n| < \omega\) である. 一方, 各 \(y \in \mathcal{B} \setminus \mathcal{A}\) について, \(a \in y \setminus d\) とすると \(a \in \bigcup \mathcal{A}\) であり, \(\mathcal{A}\) の要素は互いに交わりを持たないと仮定しているので, \(a = \xi_{n,k}\) の形に一意的に表される. このとき \(a \not\in d\) なので \(k \geq g(n)\) であり, 一方で \(a \in y\) なので \(f_y\) の選び方から \(k \leq f_y(n)\) である. 従って \(g(n) \leq f_y(n)\) であり, \(g\) の選び方から \(n \leq n_y\) となる. よって \(y \setminus d \subset \{\xi_{n,k} \colon n \leq n_y, k \leq f_y(n)\}\) なので \(|y \setminus d| < \omega\) である. 以上より \(d\) は問題文の条件を満たす.