必要性: そのような \(\langle\,U_{\alpha}\,:\,\alpha < \omega_1\,\rangle\) があったと仮定する. 各 \(\alpha\) ごとに点 \(x_\alpha \in \overline{U_{\alpha+1}}\setminus \overline{U_\alpha}\) をとったとしよう. すると \(X\setminus \overline{U_\alpha}\) は \(x_\alpha\) を含む開集合である. いっぽう \(x_\alpha\) は \(U_{\alpha+1}\) の閉包に属する. そこで, \(U_{\alpha+1}\cap (X\setminus \overline{U_\alpha})\neq 0\) すなわち \(U_{\alpha+1}\setminus \overline{U_\alpha}\neq 0\) である. すると \(\{\, U_{\alpha+1}\setminus \overline{U_\alpha}\,:\,\alpha <\omega_1\,\}\) は \(X\) の互いに交わりのない不可算個の空でない開部分集合の族ということになり, \(X\) のc.c.c.と矛盾する.
十分性: \(X\) がc.c.c.をみたさないとして, 互いに交わりのない不可算個の空でない開部分集合の族 \(\{\,W_\alpha\,:\,\alpha < \omega_1\,\}\) を考える. このとき \[ W_\alpha\cap \bigcup_{\xi < \alpha} W_\xi=0\text{ より } W_\alpha\cap \overline{\bigcup_{\xi < \alpha} W_\xi}=0 \] となる. \(U_\alpha=\bigcup_{\xi < \alpha}W_\xi\) とおこう. すると \(U_\alpha\) は \(X\) の開集合である. \(\alpha<\beta\) のとき \(U_\alpha\subset U_\beta\) であるから \(\overline{U_\alpha}\subset \overline{U_\beta}\) であり, また \(U_\beta\setminus\overline{U_\alpha}\supset W_\alpha\neq 0\) である. したがって \(\overline{U_\alpha}\) は \(\overline{U_\beta}\) の真部分集合になっている.