まず, \(S\) に属する無限基数全体の集合を \(S'\) と置くとき, \(S'\) が \(\kappa\) において定常であることを示す. \(S_1 = \{\alpha \in S \,:\, \alpha \geq \omega\}\) と置くと, \(S\) が定常集合なので \(S_1\) も定常集合である. また, 関数 \(f \,:\, S_1 \to \kappa\) を \(\alpha \in S_1\) が基数なら \(f(\alpha) = 0\), \(\alpha \in S_1\) が基数でなければ \(f(\alpha) = |\alpha|\) と定めると, \(\forall \alpha \in S_1 [ f(\alpha) < \alpha ]\) が成り立つ. 押し下げ補題より, ある \(\beta < \kappa\) について \(f^{-1}(\beta)\) は \(\kappa\) の定常部分集合となる. もし \(\beta \neq 0\) とすると, \(f\) の定義より \(\beta\) は基数であり \(f^{-1}(\beta) = \{\gamma < \kappa \,:\, |\gamma| = \beta\}\) となる. すると \(f^{-1}(\beta) \subset \beta^+ < \beta^{++} < \kappa\) ( \(\kappa\) は強到達不能基数なので特に極限基数であることに注意) であるから、 \(f^{-1}(\beta)\) は \(\kappa\) において有界かつ定常ということになり矛盾である. よって \(\beta = 0\) であり, \(f^{-1}(\beta) = f^{-1}(0) = S'\) は \(\kappa\) の定常部分集合となる. すると, もし問題の主張が \(S'\) について成り立つならば, \(S'\) を含んでいる \(S\) についても主張が成り立つことがわかる. これより, \(S\) 自身が無限基数の集合であると仮定しても一般性を失わない.
\(S\) は正則基数 \(\kappa\) において有界でないので, \(S\) の順序型は \(\kappa\) となる. 順序同型写像 \(\iota \,:\, \kappa \to S\) を取る. \(\kappa\) より小さいある順序数を定義域とする単射な関数 \(f\) で \(\forall \gamma \in \mathrm{dom}(f) [ f(\gamma) < \iota(\gamma) ]\) を満たすもの全体を \(T\) と置き, \(f \leq g \leftrightarrow f \subset g\) として \(T\) 上の順序 \(\leq\) を定めると, \(T\) は木となる. 各 \(f \in T\) について \(\mathrm{ht}(f,T) = \mathrm{dom}(f)\) であり, 従って \(\mathrm{ht}(T) \leq \kappa\) となる. 各 \(\alpha < \kappa\) について, \(\iota\) が順序同型であることと \(\kappa\) が不可算な極限基数であることから, ある不可算基数 \(\lambda < \kappa\) が存在して \(\alpha < \lambda\) かつ \(\forall \gamma \in \alpha [ \iota(\gamma) < \lambda ]\) が成り立つ. すると \(\mathrm{Lev}_{\alpha}(T) \subset \lambda^{\alpha}\) であり, 第I章補題10.26より \(|\mathrm{Lev}_{\alpha}(T)| \leq |\lambda^{\alpha}| = \lambda^{|\alpha|} \leq \lambda^{\lambda} = 2^{\lambda}\) となる. \(\kappa\) は強到達不能基数なので \(2^{\lambda} < \kappa\) であり, 従って \(|\mathrm{Lev}_{\alpha}(T)| < \kappa\) が成り立つ.
\(T\) の鎖 \(C\) で \(|C| = \kappa\) を満たすものがあると仮定して矛盾を導く. 一般性を失わずに, \(C\) は \(T\) の道であるとしてよい. 各 \(\alpha < \kappa\) について, \(C \cap \mathrm{Lev}_{\alpha + 1}(T)\) の (ただ一つの) 元 \(f_{\alpha + 1}\) を取って \(f(\alpha) := f_{\alpha + 1}(\alpha)\) と定める. \(C\) が鎖であり \(T\) の任意の元が単射な関数であることから \(f \,:\, \kappa \to \kappa\) も単射な関数であり, 各 \(\alpha < \kappa\) について \(f(\alpha) < \iota(\alpha)\) となる. \(g := f \circ \iota^{-1} \,:\, S \to \kappa\) と置くと \(g\) も単射であり, \(\forall \gamma \in S [ g(\gamma) < \gamma ]\) が成り立つ. すると押し下げ補題より \(g^{-1}(\alpha)\) が \(\kappa\) の定常部分集合となるような \(\alpha < \kappa\) が存在するが, \(g\) は単射なので \(|g^{-1}(\alpha)| \leq 1\) であり矛盾が生じる. よって \(T\) の鎖の濃度は常に \(\kappa\) 未満である.
上の議論より, 木 \(T\) は \(\kappa\) -アロンシャイン木であるための条件のうち \(\mathrm{ht}(T) = \kappa\) 以外の全ての条件を満たしているが, 一方で問題の前提より \(\kappa\) -アロンシャイン木は存在しない. このことから \(\mathrm{ht}(T) < \kappa\) が成り立つ. つまり, ある \(\alpha < \kappa\) を取ると, \(T\) の元 \(f\) で \(\alpha \subset \mathrm{dom}(f)\) を満たすものは存在しない. このことは, ある \(\alpha \in S\) を取ると, \(A = S \cap \alpha\) を定義域とする単射な関数 \(g\) で \(\forall \gamma \in A [ g(\gamma) < \gamma ]\) を満たすものが存在しないことを意味する. すると演習問題47の対偶より, ある正則基数 \(\lambda\) が存在して, \(A \cap \lambda\) が \(\lambda\) の定常部分集合となる. 特に \(A \cap \lambda = (S \cap \lambda) \cap \alpha\) は \(\lambda\) において有界でないので, \(\lambda \leq \alpha < \kappa\) であり, \(A \cap \lambda = S \cap \lambda\) は \(\lambda\) の定常部分集合となる. 以上より主張が成り立つ.