\(\{\,s \in {}^{< \omega_1} \omega \,:\, s\text{ は単射}\,\}\) の部分木 \(T\) がアロンシャイン木であるとする. 補題5.7より \(T\) は \(\omega\)-アロンシャイン木でないので, \(T\) は \(\omega_1\)-アロンシャイン木である. \(\omega_1\) より小さい後続型順序数全体の集合を \(I\) と置くと, \(|I| = \omega_1\) であり (\(\alpha\) に \(\alpha + 1\) を対応させる関数 \(\omega_1 \setminus I \to I\) が単射なので \(|\omega_1 \setminus I| \leq |I|\) である), \(X=\{\,s \in T \,:\, \mathrm{ht}(s,T) \in I\,\}\) は濃度 \(\omega_1\) を持つ. 各 \(\alpha \in I\) について, \(\alpha\) の最大元を \(M(\alpha)\) と置く. ここで各 \(n < \omega\) について \(A_n = \{\,s \in X \,:\, s(M(\mathrm{dom}(s))) = n\,\}\) と定めると, \(s,t \in A_n\) かつ \(\mathrm{ht}(s,T) < \mathrm{ht}(t,T)\) のとき \(s(M(\mathrm{dom}(s))) = t(M(\mathrm{dom}(t))) \neq t(M(\mathrm{dom}(s)))\) となるので, \(A_n\) は \(T\) の反鎖である. さらに \(X\) の定義より \(X = \bigcup_{n < \omega} A_n\) であり, \(|X| = \omega_1\) は正則なので, ある \(n < \omega\) について \(|A_n| = \omega_1\) が成り立つ. よって \(T\) は \(\omega_1\)-ススリン木ではない.