まず, 条件(c)より, \(X\) の稠密な部分集合 \(D\) で \(|D| \leq \omega\) なるものが取れる. このとき \(D\) は \(X\) において上界も下界も持たない. 実際, 任意の \(x \in X\) について, 条件(a)より \(x < y < z\) なる \(y,z \in X\) が取れて, \((y,z) \cap D \neq 0\) なので \(x\) は \(D\) の上界ではない. 下界についても同様である. 特に, \(D\) には最小元も最大元も存在しない. また, \(D\) は自己稠密である. 実際, もし \(x,y \in D\), \(x < y\) だが \((x,y) \cap D = 0\) であるとすると, \(D\) の稠密性より \((x,y)\) 自身が空であり, \(X\) が二つの交わりを持たず空でない開集合 \(\{z \in X \,:\, z < y\}\) と \(\{z \in X \,:\, x < z\}\) の和となるので, 条件(b)と矛盾する. よって演習問題28より \(D \simeq \mathbb{Q}\) である. この対応に従って \(D\) の元を \(d_r\) ( \(r \in \mathbb{Q}\) ) と書くことにする.
ここで各 \(x \in X\) について \(L_x = \{r \in \mathbb{Q} \,:\, d_r \leq x\}\) と置き, 関数 \(f \,:\, X \to \mathbb{R}\) を \(f(x) = \sup(L_x)\) で定義する. \(D\) が \(X\) で上下に非有界なことから各 \(L_x\) は空でなく上に有界な \(\mathbb{R}\) の部分集合であり, 従って \(f\) はwell-definedである. \(x,y \in X\), \(x < y\) であれば, \(D\) の稠密性より \(x < d_r < d_{r'} < y\) なる \(r,r' \in \mathbb{Q}\) が存在し, 従って \(f(x) \leq r < r' \leq f(y)\) となる. よって \(f\) は単射であり順序を保つ. さらに各 \(p \in \mathbb{R}\) について, \(L'_p = \{r \in \mathbb{Q} \,:\, r \leq p\}\) と置き, \(I_1 = \{x \in X \,:\, \exists r \in L'_p [ x < d_r ]\}\), \(I_2 = X \setminus I_1\) と定める. このとき \(I_1\) は開集合であり \(0 \neq I_1 \neq X\) なので, 条件(b)より \(I_2\) は開集合ではない. \(I_2\) の内部に属さない \(x \in I_2\) を取ると, \(I_2\) の定義より \(L'_p \subset L_x\) であり, 従って \(p = \sup(L'_p) \leq \sup(L_x) = f(x)\) となる. もし \(p < f(x)\) と仮定すると, \(f\) の定義より \(p < r_1 < r_2\) となる \(r_1,r_2 \in L_x\) が存在する. このとき各 \(r' \in L'_p\) について \(r' < r_1\) なので \(d_{r'} < d_{r_1}\) であり, 従って \(d_{r_1} \in I_2\) である. すると \(\{y \in X \,:\, d_{r_1} < y\}\) は \(x\) を含む \(X\) の開集合であり ( \(d_{r_1} < d_{r_2} \leq x\) に注意) , \(I_2\) の定義よりこれは \(I_2\) に含まれる. これは \(x\) の選び方と矛盾するので, \(p = f(x)\) となる. よって \(f\) は全単射となり, 従って \(X\) から \(\mathbb{R}\) への同型写像である. 以上より主張が成り立つ.