\(\mathcal{P}(\mathbb{P})\) 上の関係 \(\leq\) を問題文にあるように定める. \(\leq\) は反射的である ( \(p \in S \in \mathcal{P}(\mathbb{P})\), \(q \leq p\) とすると \(p\) 自身が \(q \not\perp p\) を満たすので, \(S \leq S\) ) . また \(S \leq T \leq U\) とすると, \(p \in S\), \(q \leq p\) のとき, \(S \leq T\) よりある \(r \in T\) について \(q \not\perp r\), 即ちある \(s \in \mathbb{P}\) が存在して \(s \leq q\) かつ \(s \leq r\) となる. また \(T \leq U\) なので, ある \(t \in U\) について \(s \not\perp t\), 即ちある \(u \in \mathbb{P}\) が存在して \(u \leq s\) かつ \(u \leq t\) となる. この \(t \in U\) と \(u \leq t\) について \(u \leq s \leq q\) なので, \(q \not\perp t\) である. よって \(S \leq U\) となり, \(\leq\) は推移的である. 以上より \(\langle \mathcal{P}(\mathbb{P}),\leq \rangle\) は半順序である. よって, \(\mathcal{P}(\mathbb{P})\) 上の同値関係 \(\sim\) を \(S \sim T \leftrightarrow S \leq T \land T \leq S\) で定義すると, \(\mathcal{B} = \mathcal{P}(\mathbb{P})/\sim\) は自然に誘導される順序 (これも \(\leq\) と書く) に関して狭義の半順序となる. \(S \in \mathcal{P}(\mathbb{P})\) を含む同値類を \([S]\) と書く.
補題 1 \(\mathcal{B}\) は完備な束であり, \(\mathbf{0} = [0]\), \(\mathbf{1} = [\mathbb{P}]\), また \(\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\mathbb{P})\) について \[ \bigvee \{[A] \,:\, A \in \mathcal{A}\} = [\bigcup \mathcal{A}], \bigwedge \{[A] \,:\, A \in \mathcal{A}\} = [L(\mathcal{A})] \] (ただし \(L(\mathcal{A}) = \{p \in \mathbb{P} \,:\, \forall A \in \mathcal{A} (\{p\} \leq A)\}\) ) が成り立つ.
(証明) 定義より \(\forall A,B \in \mathcal{P}(\mathbb{P}) (A \subset B \to A \leq B)\) であるから, \([0]\) と \([\mathbb{P}]\) はそれぞれ \(\mathcal{B}\) の最小元と最大元である. 上限について, 上の性質より各 \(A \in \mathcal{A}\) について \(A \leq \bigcup \mathcal{A}\) である. 一方全ての \(A \in \mathcal{A}\) について \(A \leq B\) ならば, \(\leq\) の定義より直ちに \(\bigcup \mathcal{A} \leq B\) となる. よって上限が存在して \(\bigvee \{[A] \,:\, A \in \mathcal{A}\} = [\bigcup \mathcal{A}]\) が成り立つ. すると, \(\mathcal{B}\) に最小元が存在するので任意の部分集合の下限も存在し, \(\bigwedge \{[A] \,:\, A \in \mathcal{A}\} = \bigvee \{[B] \,:\, \forall A \in \mathcal{A} (B \leq A)\}\) となる. 上の結果からこの右辺は \([\bigcup \{B \,:\, \forall A \in \mathcal{A} (B \leq A)\}]\) に等しく, また \(p \in B\) ならば \(\forall A \in \mathcal{A} (B \leq A \to \{p\} \leq A)\) なので, \([\ ]\) の中身の集合は \(L(\mathcal{A})\) と一致する. よって \(\bigwedge \{[A] \,:\, A \in \mathcal{A}\} = [L(\mathcal{A})]\) となる. \(\square\)
補題 2 \(\mathcal{B}\) は分配束である.
(証明) 各 \(A_1,A_2,B \in \mathcal{P}(\mathbb{P})\) について \(([A_1] \vee [A_2]) \wedge [B] = ([A_1] \wedge [B]) \vee ([A_2] \wedge [B])\) を示せば充分である (これからもう片方の分配律も導かれる：下記注意1). 大小関係 \(\geq\) は一般的に成り立つ事実なので, 逆側の関係 \(\leq\) を示せばよい. 補題1より, 左辺は \([L(A_1 \cup A_2,B)]\) に等しく, また右辺は \([L(A_1,B) \cup L(A_2,B)]\) に等しい. \(q \leq p \in L(A_1 \cup A_2,B)\) と仮定すると, \(\{p\} \leq A_1 \cup A_2\) なのである \(i \in \{1,2\}\) と \(r \in A_i\) が存在して \(q \not\perp r\), 従ってある \(s \in \mathbb{P}\) が存在して \(s \leq q\) かつ \(s \leq r\) となる. また \(\{p\} \leq B\) かつ \(s \leq q \leq p\) なので, ある \(t \in B\) が存在して \(s \not\perp t\), 従ってある \(u \in \mathbb{P}\) が存在して \(u \leq s\) かつ \(u \leq t\) となる. この \(u\) について, \(u \leq s \leq r \in A_i\) なので \(\{u\} \leq A_i\) (任意の \(v \leq u\) と \(r\) が両立する) , また同様に \(u \leq t \in B\) なので \(\{u\} \leq B\) となる. よって \(u \in L(A_i,B) \subset L(A_1,B) \cup L(A_2,B)\) であり, \(u \leq s \leq q\) なので \(q \not\perp u\) である. 以上より \(L(A_1 \cup A_2,B) \leq L(A_1,B) \cup L(A_2,B)\) となるので主張が成り立つ. \(\square\)
補題 3 \(\mathcal{B}\) は完備ブール代数である.
(証明) 補題1と補題2より, 各 \([A] \in \mathcal{B}\) について, \([A] \wedge [C] = \mathbf{0}\) かつ \([A] \vee [C] = \mathbf{1}\) となる \([C] \in \mathcal{B}\) が存在することを示せばよい (この状況で補元の一意性は自動的に成り立つ：下記注意2). \(C = \{p \in \mathbb{P} \,:\, \forall q \in A (q \perp p)\}\) と定める. まず, \(p \in L(A,C)\) と仮定すると, \(\{p\} \leq A\) よりある \(q \in A\) について \(q \not\perp p\), 従ってある \(r\) について \(r \leq p\) かつ \(r \leq q\) となる. すると \(\{p\} \leq C\) よりある \(s \in C\) について \(s \not\perp r\) となるが, \(r \leq q\) なので \(s \not\perp q \in A\) となり, \(C\) の定義と矛盾する. よって \(L(A,C) = 0\), \([A] \wedge [C] = [L(A,C)] = \mathbf{0}\) (補題1) となる. 次に, \(p \in \mathbb{P}\), \(q \leq p\) と仮定すると, \(C\) の定義より, \(q \in C\) (従って \(q \not\perp q \in C\) ) もしくは \(\exists r \in A (r \not\perp q)\) のいずれかが成り立つ. どちらの場合も \(\exists r \in A \cup C (r \not\perp q)\) であるから, \(\mathbb{P} \leq A \cup C\), 従って \([A] \vee [C] = [A \cup C] = \mathbf{1}\) (補題1) となる. \(\square\)
あとは補題3.3の条件を満たす写像 \(i \,:\, \mathbb{P} \to \mathcal{B} \setminus \{\mathbf{0}\}\) を構成すればよい. \(i(p) = [\{p\}]\) ( \(p \in \mathbb{P}\) ) と定める ( \(\{p\} \not\leq 0\) なので \(i(p) \neq \mathbf{0}\) ) . このとき任意の \(0 \neq A \in \mathcal{P}(\mathbb{P})\) について, \(A\) の元 \(p\) を取れば \(i(p) \leq [A]\) となるので, \(i\) の像は \(\mathcal{B} \setminus \{\mathbf{0}\}\) で稠密である. また, \(p,q \in \mathbb{P}\), \(p \leq q\) ならば \(\{p\} \leq \{q\}\) なので \(i(p) \leq i(q)\) となる. よって条件(2)が成り立つ.
さらに \(p,q \in \mathbb{P}\) について, \(p \not\perp q\) と仮定するとある \(r \in \mathbb{P}\) について \(r \leq p\) かつ \(r \leq q\) となり, 上より \(i(r) \leq i(p)\) かつ \(i(r) \leq i(q)\) となるので \(i(p) \wedge i(q) \neq \mathbf{0}\) である. 逆に \(i(p) \wedge i(q) \neq \mathbf{0}\) と仮定すると, 補題1より \(L(\{p\},\{q\})\) は空でないのである元 \(r\) を含む. このとき \(\{r\} \leq \{p\}\) なので \(r \not\perp p\), 従ってある \(s \in \mathbb{P}\) について \(s \leq r\) かつ \(s \leq p\) となる. また, \(\{r\} \leq \{q\}\) かつ \(s \leq r\) なので, \(s \not\perp q\) となる. これと \(s \leq p\) より \(p \not\perp q\) が成り立つ. 以上より条件(3)も成り立つので, \(i\) は確かに求める写像である.
注意 1. 任意の束 \(\mathcal{L}\) について, 分配律の一方 \(\forall x,y,z \in \mathcal{L} ((x \vee y) \wedge z = (x \wedge z) \vee (y \wedge z))\) が成り立てばもう一方 \(\forall x,y,z \in \mathcal{L} ((x \wedge y) \vee z = (x \vee z) \wedge (y \vee z))\) も成り立つ. 実際, \((x \vee z) \wedge (y \vee z) = ((x \vee z) \wedge y) \vee ((x \vee z) \wedge z) = ((x \vee z) \wedge y) \vee z = (x \wedge y) \vee (z \wedge y) \vee z = (x \wedge y) \vee z\) となる.
注意 2. 最小元 \(\mathbf{0}\) と最大元 \(\mathbf{1}\) を持つ任意の分配束 \(\mathcal{L}\) について, ある元 \(x \in \mathcal{L}\) の補元は存在すれば一意に定まる. 実際, \(y_1\) と \(y_2\) がともに \(x \wedge y_i = \mathbf{0}\), \(x \vee y_i = \mathbf{1}\) を満たすとすると, \(y_1 = y_1 \vee \mathbf{0} = y_1 \vee (x \wedge y_2) = (y_1 \vee x) \wedge (y_1 \vee y_2) = \mathbf{1} \wedge (y_1 \vee y_2) = y_1 \vee y_2\), 従って \(y_1 \geq y_2\) である. 対称性より \(y_1 \leq y_2\) も成り立つので, \(y_1 = y_2\) である.