体系 \(\mathrm{MK}\) においては, クラスに関する限量記号を持つ論理式 \(\Phi(x)\) に対しても \(a\) が集合ならば \(\{x\in a\,:\,\Phi(x)\}\) も集合となる. このことを用いて, 証明のアウトラインを述べる.
\(\mathrm{ZFC}\) の言語に定数記号として集合を表す名前を追加して得られる言語の論理式を拡大論理式と呼ぶことにし, 拡大論理式 \(\phi\) のコードを \(\ulcorner\phi\urcorner\) で表す. 定数記号全体が真のクラスなので, 拡大論理式のコード全体も真のクラスとなる.
拡大論理式 \(\phi\) に現れる自由な変数 \(v_1,v_2,\dots,v_m\) に集合 \(x_1,x_2,\dots,x_m\) を表す名前を代入して得られる拡大閉論理式のコードを \(\ulcorner\phi(\dot{x_1},\dot{x_2},\dots,\dot{x_m})\urcorner\) で表すことにする.
拡大閉論理式のコード全体のクラスを \(\mathbf{A}\) とし, その上の二項関係を \(\phi\) は \(\psi\) の部分論理式であるとき \(\ulcorner\phi\urcorner\mathbf{R}\ulcorner\psi\urcorner\) で定義すれば, \(\mathbf{R}\) は \(\mathbf{A}\) 上の(集合状ではない) 整礎的関係となる. \(\mathrm{pred}(\mathbf{A},x,\mathbf{R})\) を \(\mathrm{pred}(x)\) と記すことにする. \(\mathrm{pred}(x)\) も一般には真のクラスとなる.
\(x\in\mathbf{A}\) とクラス \(X\) が次のいずれかを満たすとき, \(\mathbf{F}(x,X)=1\) そうでないとき, \(\mathbf{F}(x,X)=0\) と定義する.
\(\begin{equation}\begin{array}{l} \text{$x$ が $\ulcorner \dot{x_1}\in\dot{x_2}\urcorner$ の形で } x_1\in x_2\\ \text{$x$ が $\ulcorner \dot{x_1}=\dot{x_2}\urcorner$ の形で } x_1= x_2\\ \text{$x$ が $\ulcorner \phi\land\psi\urcorner$ の形で } X(\ulcorner\phi\urcorner)=1 \land X(\ulcorner\psi\urcorner)=1\\ \text{$x$ が $\ulcorner \neg\phi\urcorner$ の形で } X(\ulcorner\phi\urcorner)=0\\ \text{$x$ が $\ulcorner \exists v\phi(v)\urcorner$ の形で } \exists x_1 (X(\ulcorner\phi(\dot{x_1})\urcorner)=1) \end{array} \end{equation}\)
\(\mathbf{A}\) の元の \(\mathbf{R}\) に関する \(\mathrm{rank}\) が \(\omega\) 未満であることを用いると, \(\mathrm{MK}\) では, 第III章 定理5.6 の証明を修正することで \(\mathbf{R}\) に関する再帰的定義が可能となることが以下のようにしてわかる.
まず \(x\in \mathbf{A}\) のとき, \(\mathbf{G_1}\) が \(x\)近似であるとは次が成立することと定める.
\(\begin{equation}\{x\}\cup\mathrm{pred}(x)\subset \mathrm{dom}(\mathbf{G_1})\land \forall y\in \mathrm{dom}(\mathbf{G_1}) (\mathbf{G_1}(y)=\mathbf{F}(y,\mathbf{G_1}\restriction\ \mathrm{pred}(y)))\end{equation}\)
この定義の下で, \(\mathrm{MK}\) において次が \(x\in\mathbf{A}\) の論理記号の数 (=\(\mathbf{R}\) に関する \(\mathrm{rank}\) ) に関する超限帰納法で証明できる. (後者の証明は, クラスに関する存在記号を持つ論理式を扱っていることに注意. )
- \(\forall x\in\mathbf{A}[\mathbf{G_1}, \mathbf{G_2}\) がとも に, \(x\) 近似ならば, \(\mathbf{G_1}\restriction(\{x\}\cup\mathrm{pred}(x))=\mathbf{G_2}\restriction(\{x\}\cup\mathrm{pred}(x))]\)
- \(\forall x\in\mathbf{A}\exists \mathbf{G_1} (\mathbf{G_1} \text{ は $x$ 近似})\)
そこで \(\mathbf{G}(x)=1\Leftrightarrow \exists\mathbf{G_1} (\mathbf{G_1} \text{ は $x$ 近似} \land \mathbf{G_1}(x)=1) \) と定めると, \( \mathrm{MK}\vdash\forall x\in\mathbf{A}[\mathbf{G}(x)=\mathbf{F}(x,\mathbf{G}\restriction\mathrm{pred}(x))]\) となる.
このように定義された \(\mathbf{G}\) は 任意の \(\mathrm{ZFC}\) の論理式 \(\phi(v_1,v_2,\dots,v_n)\) に対して, 次が成立することが, \(\phi(v_1,v_2,\dots,v_n)\) の構成に関する帰納法で容易に証明ができる.
\(\mathrm{MK}\vdash \forall x_1,x_2,\dots,x_n [\phi(x_1,x_2,\dots,x_n)\Leftrightarrow \mathbf{G}(\ulcorner\phi(\dot{x_1},\dot{x_2},\dots,\dot{x_n})\urcorner)=1]\)
特に \(\phi\) が \(\mathrm{ZFC}\) の定理ならば \(\mathbf{G}(\ulcorner\phi\urcorner)=1\) となることが \(\mathrm{ZFC}\) における \(\phi\) の証明の長さに関する帰納法によりわかる. 一方 \(\mathbf{G}(\ulcorner0\neq 0\urcorner)=0\) なので \(0\neq 0\) は \(\mathrm{ZFC}\) では証明できない.