まず, 式 \(a=\{x\}\) は \[ x\in a\land \forall u(u\in a\rightarrow u=x) \] と書ける. また, \(a=\{x,y\}\) は \[ x\in a\land y\in a\land \forall u(u\in a\rightarrow u=x\lor u=y) \] と同値である. そこで \(b=\langle x,y\rangle\) すなわち \(b=\{\{x\},\{x,y\}\}\) は \[ \begin{align} \exists a_1\exists a_2&\big[\;a_1\in b\land a_2\in b\land \forall t(t\in b\rightarrow t=a_1\lor t=a_2)\\ &\land\,x\in a_1\land \forall u(u\in a_1\rightarrow u=x)\\ &\land\,x\in a_2\land y\in a_2\land \forall u(u\in a_2\rightarrow u=x\lor u=y)\;\big] \tag{1} \end{align} \] と書けることになる. 目的の式 \(z=\langle\langle x,y\rangle,\langle v,w\rangle\rangle\) を \[ \exists b_1\exists b_2\big[\; b_1 = \langle x,y\rangle \land b_2 = \langle v,w\rangle \land z = \langle b_1,b_2\rangle \;\big] \tag{2} \] と書いて, さらに(1)を用いて変形すれば, これと \[ \begin{align} \exists b_1\exists b_2\exists a_1\exists a_2\exists a_3\exists a_4\exists c_1\exists c_2\big[\; & c_1\in z\land c_2\in z\land \forall r(r\in z\rightarrow r=c_1\lor r=c_2)\\ \land& b_1\in c_1\land \forall s(s\in c_1\rightarrow s=b_1)\\ \land& b_1\in c_2\land b_2\in c_2\land \forall s(s\in c_2\rightarrow s=b_1\lor s=b_2)\\ \land& a_1\in b_1\land a_2\in b_1\land \forall t(t\in b_1\rightarrow t=a_1\lor t=a_2)\\ \land& x\in a_1\land \forall u(u\in a_1\rightarrow u=x)\\ \land& x\in a_2\land y\in a_2\land \forall u(u\in a_2\rightarrow u=x\lor u=y)\\ \land& a_3\in b_2\land a_4\in b_2\land \forall t(t\in b_2\rightarrow t=a_3\lor t=a_4)\\ \land& v\in a_3\land \forall u(u\in a_3\rightarrow u=v)\\ \land& v\in a_4\land w\in a_4\land \forall u(u\in a_4\rightarrow u=v\lor u=w)\;\big] \end{align} \] が同値とわかる.
式 \(z=\langle\langle x,y\rangle,\langle v,w\rangle\rangle\) の書き下しかたは他にもあります. たとえば, (2)が \[ \forall b_1\forall b_2\big[\; b_1 = \langle x,y\rangle \land b_2 = \langle v,w\rangle \rightarrow z = \langle b_1,b_2\rangle \;\big] \tag{2'} \] と(\(\mathrm{ZF}^-{-}\mathrm{P}\)のいくつかの公理のもとで)同値であることにより, \[ \begin{align} \forall b_1\forall b_2\forall a_1\forall a_2\forall a_3\forall a_4\forall c_1\forall c_2\big[\; & a_1\in b_1\land a_2\in b_1\land \forall t(t\in b_1\rightarrow t=a_1\lor t=a_2)\\ \land& x\in a_1\land \forall u(u\in a_1\rightarrow u=x)\\ \land& x\in a_2\land y\in a_2\land \forall u(u\in a_2\rightarrow u=x\lor u=y)\\ \land& a_3\in b_2\land a_4\in b_2\land \forall t(t\in b_2\rightarrow t=a_3\lor t=a_4)\\ \land& v\in a_3\land \forall u(u\in a_3\rightarrow u=v)\\ \land& v\in a_4\land w\in a_4\land \forall u(u\in a_4\rightarrow u=v\lor u=w) \\ \land& b_1\in c_1\land \forall s(s\in c_1\rightarrow s=b_1)\\ \land& b_1\in c_2\land b_2\in c_2\land \forall s(s\in c_2\rightarrow s=b_1\lor s=b_2) \\ \rightarrow& c_1\in z\land c_2\in z\land \forall r(r\in z\rightarrow r=c_1\lor r=c_2) \;\big] \end{align} \]という式も \(z=\langle\langle x,y\rangle,\langle v,w\rangle\rangle\) と同値になります.
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